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Isoz. Opera Magistris. Compendium of Elementary Applied Mathematics for Engineers. 4e. 2026.

Contents
1 Revision History
2 Warnings
3 Acknowledgements
4 Introduction
5 Arithmetic
6 Algebra
7 Analysis
8 Geometry
9 Mechanics
10 Electromagnetism
11 Atomistic
12 Cosmology
13 Chemistry
14 Theoretical Computing
15 Social Sciences
16 Engineering
17 Epilogue
18 Biographies
19 Chronology
20 Humor
21 Links
22 Quotes
23 Changelog
24 Nomenclature
List of Figures
List of Tables
List of Algorithms
Bibliography
Index
25 Donate

Table of Contents

1 Revision History

2 Warnings

2.1 Impressum
2.1.1 Use of content
2.1.2 How to use this textbook
2.1.2.1 Style guide
2.1.2.2 Credits
2.1.2.3 Videos and Animations
2.1.2.4 Ancillaries
2.1.3 Data Protection
2.1.4 Use of data
2.1.5 Data transmission
2.1.6 Agreement
2.1.7 Errata

2.2 License
2.2.1 Preamble
2.2.2 Applicability and Definitions
2.2.3 Verbatim Copying
2.2.4 Copying in Quantity
2.2.5 Modifications
2.2.6  Combining Documents
2.2.7 Collections of Documents
2.2.8 Aggregation with independent Works
2.2.9 Generating this document
2.2.10 Translation
2.2.11 Permissions and Copyrights
2.2.12 Termination
2.2.13 Future revisions of this License

2.3 Safety Guides

2.4 Roadmap (To Do)

3 Acknowledgements

4 Introduction

4.1 Forewords
4.1.1 Motivation and goals
4.1.2 Who this book is intended for
4.1.3 How is this textbook structured

4.2 Methods
4.2.1 Descartes’ Method
4.2.1.1 Blind studies
4.2.2 Research Integrity and Engineering/Scientific Ethics
4.2.2.1 Singapore Statement on Research Integrity
4.2.2.2 European Code of Conduct for Research Integrity
4.2.2.3 Archimedean Oath
4.2.3 Scientific Publication Rules (SPR)
4.2.4 Scientific Mainstream Media communication
4.2.4.1 Social Networks
4.2.4.2 Expert Opinions

4.3 Vocabulary
4.3.1 On Sciences
4.3.2 Terminology

4.4 Science and Faith
4.4.1 Baloney detection kit

4.5 Scientific communication backfire

4.6 Is Science dogmatic?

5 Arithmetic

5.1 Proof Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.1
Foundations Crisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.1.2
Paradoxes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
5.1.2.1
Hypothetical-Deductive Reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
5.1.3
Propositional Calculus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
5.1.3.1
Propositions (premises) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
5.1.3.2
Connectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
5.1.3.3
Decision procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
5.1.3.3.1
Non-axiomatic procedural decisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
5.1.3.3.2
Axiomatic procedural decisions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
5.1.3.4
Quantifiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
5.1.4
Predicate Calculus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
5.1.4.1
Grammar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
5.1.4.2
Languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
5.1.4.2.1
Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
5.1.4.2.2
Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
5.1.4.2.3
Formulas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
5.1.5
Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
5.1.5.1
Rules of Proofs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
5.1.6
Laws of thought
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
5.1.6.1
Some famous logical fallacies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
5.1.6.2
Is logic a science? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
viii
5.2 Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.2.1
Digital Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
5.2.2
Type of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
5.2.2.1
Natural Integer Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
5.2.2.1.1
Peano axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
5.2.2.1.2
Odd, Even and Perfect Numbers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
5.2.2.1.3
Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
5.2.2.2
Relative Integer Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
5.2.2.3
Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
5.2.2.4
Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
5.2.2.5
Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
5.2.2.5.1
Percentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
5.2.2.6
Transfinite Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
5.2.2.7
Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.2.7.1
Geometric Interpretation of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
5.2.2.7.1.1
Fresnel Vectors (phasors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
5.2.2.7.2
Transformation in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
5.2.2.8
Quaternion Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
5.2.2.8.1
Matrix Interpretation of Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
5.2.2.8.2
Rotations with Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
5.2.2.9
Algebraic and Transcendental Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
5.2.2.10
Universe Numbers (normal numbers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
5.2.2.11
Abstract Numbers (variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
5.2.2.11.1
Domain of a Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
5.3 Arithmetic Operators
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.3.1
Binary Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
5.3.1.1
Equalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
5.3.1.2
Comparators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
5.3.2
Fundamental Arithmetic Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
5.3.2.1
Addition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
5.3.2.2
Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
5.3.2.3
Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
5.3.2.4
Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
5.3.2.5
n-root
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
5.3.3
Arithmetic Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320
5.3.4
Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321
5.3.5
Calculation Rules (operators priorities)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
5.4 Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.4.1
Principle of good order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
5.4.2
Induction Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
5.4.3
Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
5.4.3.1
Euclidean Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
5.4.3.1.1
Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337
5.4.3.2
Euclidean Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
5.4.3.3
Least Common Multiple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344
ix
5.4.3.4
Fundamental Theorem of Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
5.4.3.5
Congruences (modular arithmetic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
5.4.3.5.1
Congruence Class
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
359
5.4.3.5.2
Complete set of residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
362
5.4.3.5.3
Chinese remainder theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
5.4.3.6
Continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
5.5 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
5.5.1
Zermelo-Fraenkel Axiomatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
5.5.1.1
Cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
5.5.1.2
Cartesian Product
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
388
5.5.1.3
Intervals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
389
5.5.2
Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
390
5.5.2.1
Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
5.5.2.2
Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
5.5.2.3
Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393
5.5.2.4
Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394
5.5.2.5
Symmetric Difference
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
5.5.2.6
Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
396
5.5.2.7
Complementarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
396
5.5.3
Functions and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400
5.5.3.1
Cantor-Bernstein Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407
5.5.4
Structures
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
5.5.4.1
Magma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
415
5.5.4.2
Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
416
5.5.4.3
Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
418
5.5.4.4
Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423
5.5.4.4.1
Sub-ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426
5.5.4.5
Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426
5.5.4.6
Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428
5.5.4.7
C-algebra A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430
5.5.4.8
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
5.5.5
Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
5.5.5.1
Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
5.6 Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
5.6.1
Event Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
449
5.6.1.1
Infinite monkey theorem (Borel’s law)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452
5.6.1.1.1
Second Borel-Cantelli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453
5.6.1.2
Do probabilities refute complex structures? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456
5.6.2
Kolmogorov’s Axioms
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473
5.6.3
Conditional Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
482
5.6.3.1
Conditional Expectation and Variance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
495
5.6.3.2
Bayesian Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
500
5.6.4
Geometric Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512
5.6.5
Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
514
5.6.5.1
Gambling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515
x
5.6.6
Combinatorial Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
518
5.6.6.1
Simple Arrangements with Repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
519
5.6.6.2
Simple Permutations without Repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
5.6.6.3
Simple Permutations with Repetitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
521
5.6.6.4
Simple Arrangements without Repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
523
5.6.6.5
Simple Combinations without Repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
524
5.6.6.6
Simple Combinations with Repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526
5.6.7
Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
533
5.7 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
5.7.1
Samples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
541
5.7.2
Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
542
5.7.2.1
Laplace Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
566
5.7.2.2
Means and Averages properties
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
567
5.7.2.2.1
Jensen Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
572
5.7.3
Type of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
576
5.7.3.1
Discrete Variables and Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
578
5.7.3.1.1
Mean and Variance of Discrete Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
581
5.7.3.1.1.1
Semivariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593
5.7.3.1.2
Discrete Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
594
5.7.3.1.2.1
Quasi-correlation matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
602
5.7.3.1.2.2
Anscombe’s famous quartet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
604
5.7.3.1.3
Mean and Variance of the Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
606
5.7.3.1.4
Coefficient of Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
608
5.7.3.1.4.1
Geometric interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
617
5.7.3.1.4.2
Point biserial correlation coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
617
5.7.3.1.4.3
Partial correlation and semipartial correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
620
5.7.3.1.4.4
Intraclass coefficient of correlation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
623
5.7.3.2
Continuous Variables and Moments
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
628
5.7.3.2.1
Skewness and Kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
631
5.7.4
Fundamental postulate of statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
638
5.7.5
Diversity Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
639
5.7.6
Distribution Functions (probabilities laws) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
642
5.7.6.1
Discrete Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
644
5.7.6.2
Bernoulli Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
647
5.7.6.3
Geometric Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
648
5.7.6.4
Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
652
5.7.6.5
Negative Binomial Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
661
5.7.6.6
Hypergeometric Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
665
5.7.6.7
Multinomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
672
5.7.6.8
Poisson Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
679
5.7.6.9
Normal & Gauss-Laplace Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
685
5.7.6.9.1
Sum of two random Normal variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
702
5.7.6.9.2
Product of two random Normal variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
704
5.7.6.9.3
Bivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
705
5.7.6.9.4
Multivariate Normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
712
xi
5.7.6.9.4.1
Marginal and conditional distributions of multivariate Normal distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
715
5.7.6.9.5
Normal Reduced Centered Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
717
5.7.6.9.6
Henry’s Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
718
5.7.6.9.7
Q-Q plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
722
5.7.6.10
Log-Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
725
5.7.6.11
Continuous Uniform Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
729
5.7.6.12
Triangular Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
734
5.7.6.13
Pareto Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
737
5.7.6.14
Exponential Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
742
5.7.6.15
Cauchy Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
746
5.7.6.16
Beta Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
751
5.7.6.16.1
Regularized Incomplete beta function integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
755
5.7.6.17
Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
757
5.7.6.17.1
Generalized Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
763
5.7.6.18
Chi-Square (Pearson) Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
764
5.7.6.18.1
Noncentral chi-square distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
770
5.7.6.19
Student Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
772
5.7.6.19.1
Multivariate Student T-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
779
5.7.6.20
Fisher Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
780
5.7.6.21
General Folded Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
785
5.7.6.21.1
Half-Normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
786
5.7.6.22
Laplace Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
790
5.7.6.23
Benford Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
793
5.7.6.24
ex-Gaussian distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
796
5.7.7
Likelihood Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
807
5.7.7.1
Normal Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
808
5.7.7.2
Poisson Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
814
5.7.7.3
Binomial Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
815
5.7.7.4
Geometric Distribution MLE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
815
5.7.7.5
Weibull Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
816
5.7.7.6
Gamma Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
819
5.7.7.7
Pareto Distribution MLE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
820
5.7.7.8
Censored data MLE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
821
5.7.7.9
Fisher Information Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
824
5.7.8
Finite Population Correction Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
832
5.7.9
Confidence Intervals (inference) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
837
5.7.9.1
Frequentist Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
837
5.7.9.1.1
C.I. on the Mean with known theoretical Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
841
5.7.9.1.2
C.I. on the Variance with known theoretical Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
846
5.7.9.1.3
C.I. on the Variance with known empirical Mean
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
851
5.7.9.1.4
C.I. on the Mean with known empirical Variance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
853
5.7.9.1.5
C.I. on the Geometric Mean (for known or unknown Variance) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
856
5.7.9.1.6
Binomial exact Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
858
5.7.9.1.7
C.I. for a Proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
861
5.7.9.1.7.1
Variance stabilizing transformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
867
xii
5.7.9.1.7.2
Test of equality (or difference) of two Proportions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
869
5.7.9.1.8
Sign Test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
872
5.7.9.1.9
Mood’s Median Test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
874
5.7.9.1.10
Poisson Test (1 sample)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
875
5.7.9.1.11
Poisson Test (2 samples) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
878
5.7.9.1.12
Confidence/Tolerance/Prediction/Credibility Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
881
5.7.9.2
Bayesian Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
883
5.7.9.2.1
Beta prior conjugate to Binomial likelihood (beta-binomial distribution) . . . . . . . . . . . . . .
887
5.7.9.2.1.1
Uninformative prior
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
890
5.7.9.2.2
Normal prior conjugate to Normal likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
893
5.7.9.2.3
Binomial prior conjugate to Binomial likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
896
5.7.9.2.4
Credibility Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
898
5.7.9.2.5
Bayes Factor (BF)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
902
5.7.10 Weak Law of Large Numbers (Khinchin’s law)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
908
5.7.11 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
913
5.7.11.1
Moment generating function and cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
918
5.7.12 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
925
5.7.13 Univariate Hypothesis and Adequation Tests (NHST)
. . . . . . . . . . . . . . .
931
5.7.13.1
Direction of hypothesis tests and p-values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
935
5.7.13.2
Fisher’s method for multiple p-values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
950
5.7.13.2.1
Simpson’s Paradox (sophism) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
954
5.7.13.3
Power of a Test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
959
5.7.13.3.1
Evidence ("proof") of a negative
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
961
5.7.13.3.1.1
Two-One-Sided T -test procedure (TOST)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
964
5.7.13.3.2
Power of the one sample Z-test and T-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
967
5.7.13.3.3
Power of the two sample Z-test and T-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
970
5.7.13.3.4
Power of the one and two samples P-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
973
5.7.13.3.5
Power calculation based on simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
977
5.7.13.4
A/B Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
978
5.7.13.4.1
Naive proportion approach
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
978
5.7.13.4.2
Fieller’s test (ratio of two means) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
979
5.7.13.4.3
Bayesian A/B testing for binary outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
983
5.7.13.4.4
Bayesian A/B testing for count datas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
986
5.7.13.5
Analysis Of VAriance (ANOVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
988
5.7.13.5.1
ANOVA with one fixed factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
991
5.7.13.5.1.1
Welch Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1007
5.7.13.5.1.2
Contrasts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1011
5.7.13.5.2
ANOVA with two fixed factors without repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1014
5.7.13.5.3
ANOVA with two fixed factors with repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1032
5.7.13.5.4
Multifactor ANOVA with Repeated Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1038
5.7.13.5.4.1
Interlude on CRD, RBD, RCBD, IBD, GRBD... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1039
5.7.13.5.4.2
Interlude on Type I, Type II, Type III ANOVAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1046
5.7.13.5.5
Hierarchical (Nested) ANOVA (HANOVA)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1052
5.7.13.5.6
ANOVA with blocks
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1060
5.7.13.5.7
Latin Square ANOVA without repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1061
xiii
5.7.13.5.8
Graeco-Latin Square ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1068
5.7.13.5.9
Multivariate ANOVA (MANOVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1076
5.7.13.5.9.1
Hotelling’s T -squared Test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1081
5.7.13.6
Equivalence Tests
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086
5.7.13.7
Cochran C-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089
5.7.13.8
Family-wise error rate (adjusted p-values) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
5.7.13.8.1
Holm-Bonferroni Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1094
5.7.13.8.2
Holm–Šidák Correction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1096
5.7.13.9
Adequation Tests (Goodness of Fit tests) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096
5.7.13.9.1
Pearson’s Chi-squared GoF Test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1096
5.7.13.9.2
G-test GoF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1102
5.7.13.9.3
Kolmogorov-Smirnov GoF Test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1103
5.7.13.9.4
Ryan-Joiner GoF Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1111
5.7.13.9.5
Anderson-Darling GoF Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1115
5.7.13.9.6
Cramér–von Mises GoF Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1125
5.7.13.10 Kernel density estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128
5.7.13.11 Likelihood-ratio Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135
5.7.14 Robustness and Nonparametric Statistics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138
5.7.14.1
Rank Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141
5.7.14.1.1
L-Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1141
5.7.14.1.2
Ranks Distribution law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1142
5.7.14.1.3
Distribution free confidence intervals for percentiles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1143
5.7.14.1.4
Wilcoxon Rank Sum Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1145
5.7.14.1.5
Mann-Whitney Rank Sum Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1155
5.7.14.1.5.1
Treatment of equal ranks in Ranks based tests
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1161
5.7.14.1.6
One sample Wilcoxon rank sum signed Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1163
5.7.14.1.7
Wilcoxon rank sum signed test for two paired samples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1167
5.7.14.1.8
Kruskal-Wallis Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1170
5.7.14.1.9
Friedman Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1174
5.7.14.1.10 Spearman’s rank correlation coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1178
5.7.14.1.11 Kendall’s tau correlation Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1181
5.7.14.2
Range Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188
5.7.14.2.1
Tukey’s Range Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1192
5.7.14.3
Extreme Value Theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196
5.7.15 Multivariate Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197
5.7.15.1
Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198
5.7.15.1.1
SVD and PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1215
5.7.15.2
Chi-square Correspondence Factor Analysis (C2CFA)
. . . . . . . . . . . . . . . . 1218
5.7.15.3
Chi-squared Test of Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223
5.7.15.3.1
Equivalence of Z-test and χ2 test for proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1228
5.7.15.3.2
Cramér’s V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1232
5.7.15.4
Pearson’s phi coefficient
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235
5.7.15.5
Exact Fisher’s Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239
5.7.15.6
Cohen’s kappa agreement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245
5.7.15.7
McNemar’s test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249
xiv
5.7.15.7.1
Derivation for Cochran-Armitage’s trend test for the 2 × 3 genotype table
. . . . . . . . . . . . .
1253
5.7.16 Survival Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256
5.7.16.1
Kaplan-Meier Survival Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258
5.7.16.2
Cochran–Mantel–Haenszel Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267
5.7.16.3
Cox (Proportional Hazard) Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276
5.7.16.3.1
Stratified Cox Model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1290
5.7.17 Propagation of Errors (experimental uncertainty analysis)
. . . . . . . . . . . . . 1292
5.7.17.1
Absolute and Relative Uncertainties (direct calculation of bias)
. . . . . . . . . . . . 1293
5.7.17.2
Statistical Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294
5.7.17.3
Repeatability
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297
5.7.17.4
Error propagation (linearised approximation)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298
5.7.17.5
Error propagation (statistical approach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301
5.7.17.6
Significant Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303
5.7.18 Spatial statistics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305
5.7.18.1
2D Poisson’s spatial distance model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305
5.7.19 Surveys
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309
5.7.19.1
Survey designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312
5.7.19.1.1
Simple random sampling design without replacement and equal probabilities (RSEPR) . . . . . . . . .
1319
5.7.19.2
Survey Sampling Error and Non-Sampling Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1320
5.7.20 A World without statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324
5.7.20.1
Data fallacies
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
6 Algebra
1329
6.1 Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335
6.1.1
Equations and Inequations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336
6.1.1.1
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337
6.1.1.2
Inequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341
6.1.2
Remarkable Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346
6.1.3
Polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352
6.1.3.1
General relations between roots and coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357
6.1.3.2
Multiplication of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358
6.1.3.3
Euclidean Division of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358
6.1.3.4
Factorization Theorem of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361
6.1.3.5
Diophantine equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362
6.1.3.6
First order univariate Polynomial and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363
6.1.3.6.1
Solving by circular reference
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1364
6.1.3.7
Second order univariate Polynomial and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366
6.1.3.7.1
Irrational Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1371
6.1.3.7.2
Golden Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1373
6.1.3.8
Third order univariate Polynomial and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374
6.1.3.9
Fourth order univariate Polynomial and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378
6.1.3.10
Trigonometric Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381
6.1.3.11
Cyclotomic Polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382
6.1.3.12
Legendre Polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384
6.1.3.13
Laguerre Polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388
xv
6.1.3.13.1
Associated Laguerre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1395
6.1.3.13.2
Laguerre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1398
6.2 Set Algebra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401
6.2.1
Groups Algebra and Geometry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401
6.2.1.1
Cyclic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402
6.2.1.2
Transformations Groups
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405
6.2.1.3
Group of Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414
6.2.1.3.1
Orbits and Stabilizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1418
6.2.1.4
Permutations Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419
6.2.2
Galois Theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428
6.2.2.1
Elementary symmetric and Invariant Polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429
6.2.2.2
General Vieta’s formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432
6.3 Differential and Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433
6.3.1
Differential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433
6.3.1.1
Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447
6.3.1.1.1
Implicit functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1456
6.3.1.2
Usual Derivatives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458
6.3.1.3
Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475
6.3.1.4
Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479
6.3.2
Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1480
6.3.2.1
Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1480
6.3.2.2
Indefinite Integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491
6.3.2.3
Double Integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501
6.3.2.3.1
Fubini’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1504
6.3.2.4
Integration by Substitution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505
6.3.2.4.1
Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1507
6.3.2.5
Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514
6.3.2.6
Usual Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516
6.3.2.7
Leibniz integral rule
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1541
6.3.2.8
Integral representation of first kind Bessel’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545
6.3.2.9
Dirac Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549
6.3.2.9.1
Heaviside function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1553
6.3.2.10
Gamma Euler Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555
6.3.2.10.1
Incomplete regularized Gamma function
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1559
6.3.2.10.2
Euler-Mascheroni Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1562
6.3.2.11
Curvilinear Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564
6.3.2.11.1
Curvilinear Integral of a scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1564
6.3.2.11.2
Curvilinear Integral of a vector field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1565
6.3.2.12
Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569
6.3.2.13
Integrals involving parametric equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574
6.3.2.14
Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576
6.3.2.15
Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1580
6.3.2.15.1
Incomplete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1581
6.3.2.15.2
Complete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1582
6.3.3
Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584
xvi
6.3.3.1
First order differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586
6.3.3.2
Linear differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586
6.3.3.3
Resolution methods of linear differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588
6.3.3.3.1
Method of characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1589
6.3.3.3.1.1
Resolution of the H.E. of the first order L.D.E. with constant coefficients
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1590
6.3.3.3.1.2
Resolution of the H.E. of the first order L.D.E. with non-constant coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1590
6.3.3.3.1.3
Resolution of the H.E. of the second order L.D.E. with constant coefficients
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1591
6.3.3.3.2
Integrating Factor Method (Euler’s Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1596
6.3.3.3.3
Method of separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1598
6.3.3.3.4
Method of constant variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1599
6.3.3.4
Classification of differential equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1602
6.3.3.5
Systems of Differential Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608
6.3.3.5.1
Matrix exponentiation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1608
6.3.3.5.2
Phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1613
6.3.3.5.2.1
Stability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1616
6.3.3.6
Nonlinear dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624
6.3.3.7
Regular Methods of Perturbations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625
6.3.3.7.1
Perturbation theory for algebraic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1625
6.3.3.7.2
Perturbation theory of differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1627
6.4 Sequences and Series
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631
6.4.1
Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631
6.4.1.1
Arithmetic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633
6.4.1.2
Harmonic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635
6.4.1.3
Geometric Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636
6.4.1.4
Cauchy Sequence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637
6.4.1.5
Fibonacci Sequence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641
6.4.1.6
Logic Sequences/Psychologist Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643
6.4.2
Series
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644
6.4.2.1
Gauss Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646
6.4.2.1.1
Bernoulli’s Numbers and Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1649
6.4.2.1.2
Euler-Maclaurin formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1654
6.4.2.2
Arithmetic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659
6.4.2.3
Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659
6.4.2.3.1
Zeta function and Euler’s product formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1662
6.4.2.4
Telescoping Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671
6.4.2.5
Grandi’s Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671
6.4.2.6
Taylor and Maclaurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676
6.4.2.6.1
Usual Maclaurin developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1682
6.4.2.6.2
Taylor series of bivariate functions (multivariate Taylor series) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1692
6.4.2.6.3
Quadratic Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1695
6.4.2.6.4
Lagrange Remainder
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1700
6.4.2.6.5
Taylor Series with Integral Remainder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1702
6.4.2.6.6
Lagrange inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1703
6.4.2.7
Fourier Series (trigonometric series) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705
6.4.2.7.1
Fourier series generative art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1727
xvii
6.4.2.7.2
Power of a signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1734
6.4.2.7.3
Fourier Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1736
6.4.2.8
Bessel Series
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746
6.4.2.8.1
Zero order Bessel’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1746
6.4.2.8.2
n order Bessel’s Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1746
6.4.2.8.3
Bessel’s Differential Equations of order n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1752
6.4.3
Convergence Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753
6.4.3.1
Integral Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754
6.4.3.2
D’Alembert Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755
6.4.3.3
Alternating Series Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758
6.4.3.4
Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758
6.4.4
Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761
6.4.4.1
Ordinary Generating Functions (transformation of a sequence into a series) . . . . . . . 1761
6.4.4.1.1
Composition of Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1765
6.4.4.2
Multivariate Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767
6.4.4.3
Functional Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767
6.5 Vector Calculus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772
6.5.1
Concept of Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773
6.5.2
Set of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775
6.5.2.1
Pseudo-Vectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777
6.5.2.2
Normal vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779
6.5.2.3
Multiplication by a scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1780
6.5.2.3.1
Rule of three . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1781
6.5.3
Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783
6.5.3.1
Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784
6.5.3.2
Sub-vector spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784
6.5.3.3
Generating families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785
6.5.3.4
Linear Dependence or Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785
6.5.3.5
Base of a vectorial space
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787
6.5.3.6
Direction Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789
6.5.3.7
Dimensions of a vector space
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1790
6.5.3.8
Extension of a free family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1790
6.5.3.9
Rank of a finite family
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791
6.5.3.10
Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792
6.5.3.11
Affine spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793
6.5.4
Euclidean Vector Spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796
6.5.4.1
Scalar Product (Dot Product)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799
6.5.4.1.1
Cauchy–Schwarz inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1804
6.5.4.1.2
Triangle Inequalities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1806
6.5.4.1.3
General Scalar/Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1807
6.5.4.2
Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808
6.5.4.3
Mixed Product (triple product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815
6.5.5
Vectorial Functional Space
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817
6.5.6
Hermitian Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819
6.5.6.1
Hermitian Inner Product
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1820
xviii
6.5.6.2
Hermitian Cauchy-Schwarz inequality
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1821
6.5.6.3
Types of Vectors Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822
6.5.7
System of Coordinates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823
6.5.7.1
Cartesian (rectangular) Coordinate System
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823
6.5.7.2
Spherical Coordinate System
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826
6.5.7.2.1
Orthodromic distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1831
6.5.7.2.2
Haversine distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1834
6.5.7.3
Cylindrical Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838
6.5.7.4
Polar Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1840
6.5.8
Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843
6.5.8.1
Gradients of Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845
6.5.8.2
Gradients of Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854
6.5.8.3
Divergences of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855
6.5.8.4
Rotationals of a Vector Field (Curl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864
6.5.8.5
Laplacians of Scalar Fields (Laplace Operator)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875
6.5.8.6
Laplacians of Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879
6.5.8.7
Remarkable Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886
6.5.8.8
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892
6.6 Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897
6.6.1
Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1901
6.6.2
Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906
6.6.3
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908
6.6.3.1
Rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910
6.6.3.2
Matrix Algebra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916
6.6.3.3
Type of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919
6.6.3.4
Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1932
6.6.3.4.1
Derivative of a Determinant relatively to a parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1945
6.6.3.4.2
Derivative of logarithm of a determinant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1947
6.6.3.4.3
Cramer’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1948
6.6.3.4.4
Determinant Cofactor and Matrix Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1951
6.6.3.4.5
Determinant of block-diagonal or block-triangular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1956
6.6.3.4.6
Inverse and Determinant of a partitioned symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1959
6.6.4
Change of Basis (frames) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1962
6.6.5
Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967
6.6.5.1
Rotation Matrices and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971
6.6.6
Spectral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974
6.6.7
Matrix Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981
6.6.7.1
Singular Value Decomposition (SVD)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981
6.6.7.1.1
Singular Vectors and Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1983
6.6.7.1.2
Special case of SVD for symmetric matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1990
6.6.7.1.3
Orthogonal decomposition (eigenvalue spectral decomposition)
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1992
6.6.7.2
LU Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994
6.6.7.3
Cholesky’s Decomposition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997
6.6.7.4
QR Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000
6.6.8
Woodbury Matrix identity and Sherman-Morrison relation . . . . . . . . . . . . . 2005
xix
6.7 Tensor Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008
6.7.1
Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009
6.7.2
Indicial Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012
6.7.2.1
Summation on multiple index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013
6.7.2.2
Kronecker Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013
6.7.2.3
Antisymmetric Symbol (Levi-Civita symbol)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014
6.7.3
Metric and Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020
6.7.4
Gram’s Determinant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022
6.7.5
Contravariant and Covariant Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027
6.7.6
Operation in Basis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031
6.7.6.1
Gram-Schmidt Orthogonalization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031
6.7.6.2
Change of Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035
6.7.6.3
Reciprocal Basis (Dual Basis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036
6.7.7
Euclidean Tensors (cartesian tensor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2040
6.7.7.1
Fundamental Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2041
6.7.7.2
Tensor product (dyadic) of two vectors and matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042
6.7.7.3
Tensor Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045
6.7.7.4
Linear combination of tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049
6.7.7.5
Contraction of indices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049
6.7.7.5.1
Raising and lowering indices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2050
6.7.8
Special Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054
6.7.8.1
Symmetric Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054
6.7.8.2
Antisymmetric Tensor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057
6.7.8.3
Fundamental Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2060
6.7.9
Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2060
6.7.9.1
Natural basis in spherical coordinates (curvilinear basis in spherical coordinates)
. . . . 2066
6.7.9.2
Natural basis in polar coordinates (curvilinear basis in polar coordinates) . . . . . . . . 2068
6.7.9.3
Natural basis in cylindrical coordinates (cylindrical basis in polar coordinates) . . . . . . 2068
6.7.10 Christoffel symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072
6.7.11 Ricci Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081
6.7.12 Riemann-Christoffel symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2091
6.7.13 Ricci curvature (Ricci tensor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096
6.7.14 Einstein Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109
6.8 Spinor Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113
6.8.1
Unit Spinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114
6.8.2
Geometric Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120
6.8.2.1
Plane Symmetries
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120
6.8.2.2
Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123
6.8.2.3
Properties of Pauli Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129
7 Analysis
2136
7.1 Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138
7.1.1
Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139
7.1.1.1
Tabular Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139
7.1.1.2
Graphical Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145
xx
7.1.1.2.1
2D representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2146
7.1.1.2.2
3D representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2154
7.1.1.2.3
2D Vector representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2161
7.1.1.2.4
Properties of visual representations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2164
7.1.1.3
Analytical Representations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174
7.1.2
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177
7.1.2.1
Limits and Continuity of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194
7.1.2.1.1
Squeeze theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2207
7.1.2.1.2
Usual Limits (and Continuities) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2210
7.1.2.1.3
Limit laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2235
7.1.2.1.4
Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2236
7.1.2.1.5
Discontinuities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2243
7.1.2.2
Concavity/Convexity of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247
7.1.2.3
Euler theorem for homogeneous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249
7.1.3
Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251
7.1.4
Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2260
7.1.4.1
Continuous and Discrete Linear Convolution Product . . . . . . . . . . . . . . . . . 2260
7.1.4.2
Matrix Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266
7.1.5
Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2270
7.1.5.1
Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272
7.1.5.1.1
Continuous Time Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2272
7.1.5.1.1.1
Properties of Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2276
7.1.5.1.1.2
Usual Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2286
7.1.5.1.2
Discrete Time Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2294
7.1.5.1.3
Properties of Discrete Fourier Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2296
7.1.5.2
Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2303
7.1.5.2.1
Inverse Laplace Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2306
7.1.5.2.2
Region of Convergence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2307
7.1.5.2.3
Zeros and Poles of Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2309
7.1.5.2.4
Properties of region of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2310
7.1.5.2.5
Properties of Laplace Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2312
7.1.5.2.6
Usual Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2315
7.1.5.2.7
Solving differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2323
7.1.5.2.8
Unilateral Laplace Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2325
7.1.5.3
Z-Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327
7.1.5.3.1
Transfer function of LTI system
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2330
7.1.5.3.2
Conformal mapping between s-plane to z-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2330
7.1.5.3.3
Region of Convergence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2331
7.1.5.3.4
Zeros and Poles of Z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2333
7.1.5.3.5
Properties of Z-Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2334
7.1.5.3.6
Usual Z-Transforms
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2338
7.1.5.3.7
Unilateral Z-Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2340
7.1.5.4
Hilbert Transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343
7.1.6
Functional dot product (inner product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346
Orthogonality of trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2347
xxi
Orthogonality of complex exponential functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2349
Orthogonality of Bessel functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2349
Orthogonality of Hermite polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2352
Orthogonality of Laguerre polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2353
Orthogonality of Legendre polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2354
7.1.6.1
Cauchy-Schwarz inequality for integrals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355
7.2 Complex Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357
7.2.1
Linear Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357
7.2.2
Holomorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366
7.2.2.1
Orthogonality of real and imaginary iso-curves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372
7.2.3
Complex Logarithm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374
7.2.4
Complex Integral Calculus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378
7.2.4.1
Convergence of a complex series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385
7.2.5
Path Decomposition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393
7.2.5.1
Inverse Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394
7.2.6
Laurent Series
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396
7.2.7
Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403
7.2.8
Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406
7.2.8.1
Pole at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410
7.3 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412
7.3.1
General Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413
7.3.1.1
Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414
7.3.2
Metric Space and Distance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416
7.3.2.1
Equivalent Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423
7.3.2.2
Lipschitz Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423
7.3.2.3
Continuity and Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426
7.3.3
Opened and Closed Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2429
7.3.3.1
Balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2430
7.3.3.2
Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433
7.3.3.3
Formal Ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436
7.3.3.4
Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436
7.3.4
Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439
7.3.4.1
Subvariety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2441
7.3.4.2
Surfaces Homeomorphism
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2442
7.3.4.3
Differential Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2445
7.4 Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447
7.4.1
Measurable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448
7.4.1.1
Monotone Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457
7.4.2
Lebesgue measure in probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459
7.4.2.1
Lebesgue Measure of the rational and irrational numbers . . . . . . . . . . . . . . . 2462
8 Geometry
2465
8.1 Trigonometry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469
8.1.1
Radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469
8.1.2
Circle Trigonometry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2474
xxii
8.1.2.1
Remarkable trigonometric triangle identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485
8.1.2.1.1
Laws of Cosines (cosine rule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2490
8.1.2.1.2
Laws of Sines (sine rule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2493
8.1.3
Hyperbolic Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497
8.1.3.1
Remarkable hyperbolic identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504
8.1.4
Spherical Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2506
8.1.4.1
Girard’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510
8.1.4.2
Four-parts formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512
8.1.5
Solid Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513
8.2 Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517
8.2.1
Objects of Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517
8.2.1.1
Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519
8.2.2
Euclid’s Constructions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527
8.2.2.1
Segments and Lines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2530
8.2.2.1.1
Quantities of the same type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2532
8.2.3
Plane Geometry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537
8.2.3.1
Displacements and Turnarounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538
8.2.3.2
Plane angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539
8.2.3.2.1
Angle Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2547
8.2.3.2.2
Units of Angle Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2550
8.2.3.2.3
Bisector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2555
8.2.3.3
Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557
8.2.3.3.1
Equal Triangles (congruent triangles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2558
8.2.3.3.2
Isosceles Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2561
8.2.3.3.3
Equilateral Triangles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2565
8.2.3.3.4
Right Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2565
8.2.3.3.5
Right Isosceles Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2567
8.2.3.3.6
Inequalities in the triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2569
8.2.3.3.7
Triangles remarkable interior lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2571
8.2.3.3.8
Pythagorean theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2573
8.2.3.3.9
Thales’ Theorem (intercept theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2574
8.2.3.3.9.1
Euclid’s (triangle) theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2579
8.2.3.4
Parallelism
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2582
8.2.3.5
Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2584
8.2.3.5.1
Circumscribed circle theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2587
8.2.3.5.2
Inscribed circle theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2588
8.2.3.5.3
Thales’ theorem of the circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2590
8.2.3.5.4
Central angle theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2591
8.2.4
Hilbert’s Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595
8.2.4.1
Incidence Axioms (axioms of association) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596
8.2.4.2
Order Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596
8.2.4.3
Congruence Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597
8.2.4.4
Continuity Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597
8.2.4.5
Parallels Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598
8.2.5
Barycenter (centroid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599
xxiii
8.2.6
Geometric Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604
8.2.6.1
Translation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606
8.2.6.2
Homothety (scaling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607
8.2.6.3
Shear (skew) transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609
8.2.6.4
Rotation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611
8.2.6.4.1
Gimbal lock
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2616
8.2.6.4.2
Euler angles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2620
8.2.6.5
Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623
8.3 Non-Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627
8.3.1
Curvature(s)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629
8.3.2
Axioms of non-euclidean geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2631
8.3.3
Generalized angle sum theorems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2632
8.3.4
Geodesic and Metric Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633
8.3.5
Riemann Spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637
8.4 Projective Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2643
8.4.1
Conical Perspective (Central Perspective) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644
8.4.1.1
Images of Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2648
8.4.1.2
Images of Straight Lines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665
8.4.2
Affine projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676
8.4.2.1
Isometric perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678
8.4.2.2
Oblique perspective
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684
8.4.2.3
Orthogonal projection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686
8.4.3
Spherical projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2691
8.4.3.1
Stereographic projection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2692
8.4.3.2
Cylindrical projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2701
8.4.3.3
Mercator projection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2702
8.4.3.4
Lambert’s equivalent projection (Peters projection) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2706
8.4.3.5
Mollweide projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2709
8.4.4
Other perspectives and Laws of linear perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714
8.4.5
Homogeneous Coordinates (projection coordinates) . . . . . . . . . . . . . . . . 2722
8.4.5.1
P2 Projective Space
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2722
8.4.5.2
P3 Projective Space
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724
8.5 Analytical Geometry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727
8.5.1
Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727
8.5.1.1
Algebraic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728
8.5.1.2
Geometric Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738
8.5.1.3
Dandelin Theorem (Dandelin spheres)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2756
8.5.1.4
Classification of conical by the determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757
8.5.2
Parametrizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2763
8.5.2.1
Equation of the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2763
8.5.2.2
Equation of the Straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767
8.5.2.2.1
Distance from a line to a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2770
8.5.2.2.2
Line defined by the intersection of planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2771
8.5.2.2.3
Parametric equation of a line in R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2772
8.5.2.3
Equation of a Circle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2773
xxiv
8.5.2.4
Equation of a Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2775
8.5.2.5
Equation of an Hexagon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2776
8.5.2.6
Equation of a Cycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777
8.5.2.7
Equation of an Epicycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2778
8.5.2.8
Equation of a Spiral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2780
8.5.2.9
Equation of a Hypocycloid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2782
8.5.2.10
Surface of revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2784
8.5.2.10.1
Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2784
8.5.2.10.2
Sphere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2786
8.5.2.10.2.1
Great circle of sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2789
8.5.2.10.2.2
n-Sphere volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2790
8.5.2.10.3
Ellipsoid (spheroid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2795
8.5.2.10.4
Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2798
8.5.2.10.5
Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2800
8.5.2.10.6
Hyperboloid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2802
8.5.2.10.7
Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2809
8.6 Differential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811
8.6.1
Parametric Curves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811
8.6.2
Isolines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818
8.6.3
Frenet Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2824
8.6.4
Surface Patches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2837
8.6.4.1
Metric of a Surface Patch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838
8.6.4.1.1
Regularity of a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2840
8.7 Geometric Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2844
8.7.1
Usual Surfaces (areas)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846
8.7.1.1
Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846
8.7.1.2
Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852
8.7.1.3
Square
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2853
8.7.1.4
Unspecified Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854
8.7.1.5
Isosceles Triangle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858
8.7.1.6
Equilateral Triangle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2860
8.7.1.7
Right Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2863
8.7.1.8
Trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2864
8.7.1.9
Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866
8.7.1.10
Hexagon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867
8.7.1.11
Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2872
8.7.1.12
Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873
8.7.1.13
Ellipse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2875
8.7.1.13.1
Ellipse section surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2878
8.7.2
Usual Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2881
8.7.2.1
Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2882
8.7.2.1.1
Parallelepiped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2883
8.7.2.1.1.1
Moment of Inertia of a rectangular plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2884
8.7.2.1.1.2
Moment of Inertia of a triangular plate
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2887
8.7.2.1.2
Pyramid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2889
xxv
8.7.2.1.2.1
Moment of Inertia of a regular square pyramid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2890
8.7.2.1.3
Right Prism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2891
8.7.2.1.4
Regular Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2892
8.7.2.1.5
Regular Tetrahedron
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2897
8.7.2.1.6
Regular hexahedron (cube) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2900
8.7.2.1.7
Regular octahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2901
8.7.2.1.8
Regular Icosahedron
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2905
8.7.2.1.9
Regular Dodecahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2909
8.7.2.2
Usual Solids of Revolution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914
8.7.2.2.1
Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2917
8.7.2.2.2
Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2921
8.7.2.2.3
Sphere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2922
8.7.2.2.3.1
Sphere packing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2927
8.7.2.2.4
Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2930
8.7.2.2.5
Ellipsoid (spheroid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2934
8.7.2.2.6
Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2939
8.7.2.2.7
Gabriel’s horn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2942
8.7.2.2.8
Wine Barrel with Circular Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2944
8.7.3
Isoperimetric inequality (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2949
8.8 Graph Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2955
8.8.1
Type of Graphs and Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2956
8.8.2
Graph Adjacency Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2982
8.8.3
Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2987
8.9 Knot Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2991
8.9.1
Braids Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2991
8.9.1.1
Braids Group
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2993
8.9.2
Knot Representation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2996
8.9.2.1
Knots Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3000
8.9.3
Tait’s Knot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004
8.9.4
Mathematical Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3008
8.9.4.1
Planar Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017
9 Mechanics
3019
9.1 Principia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3024
9.1.1
System of Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3028
9.1.1.1
Dimensional Analysis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037
9.1.1.1.1
Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3039
9.1.1.1.2
Length
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3041
9.1.1.1.3
Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3043
9.1.1.1.4
Energy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3048
9.1.1.1.5
Electric Charge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3051
9.1.1.2
Scientific Notation and Metric Prefixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3054
9.1.1.3
Scales of Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3057
9.1.2
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068
9.1.3
Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3069
xxvi
9.1.3.1
Mathematical Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3070
9.1.3.2
Universal Constants (fundamental constants)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3070
9.1.3.3
Astronomical/Astrophysical parameters and constants
. . . . . . . . . . . . . . . . 3075
9.1.3.4
Chemical parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3075
9.1.3.5
Material parameters
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3077
9.1.3.6
Planck’s constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078
9.1.4
Principles of Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3082
9.1.4.1
Principle of Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3083
9.1.4.2
Principle of Conservation of Energy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3084
9.1.4.3
Principle of Least Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3086
9.1.4.4
Noether’s Principle (Noether’s theorem)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3087
9.1.4.4.1
Invariance by translation in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3089
9.1.4.4.2
Invariance by rotation in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3091
9.1.4.4.3
Invariance by translation in time
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3091
9.1.4.4.4
Noether’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3094
9.1.4.5
Curie’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098
9.1.5
Point Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3099
9.2 Analytical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3106
9.2.1
Lagrangian formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3109
9.2.1.1
Generalized coordinates and frames
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110
9.2.1.2
Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114
9.2.1.3
Euler-Lagrange Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116
9.2.1.3.1
Beltrami Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3131
9.2.1.3.2
Theorem of Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3132
9.2.2
Canonical Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134
9.2.2.1
Legendre Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134
9.2.2.2
Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3135
9.2.2.3
Poisson bracket
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143
9.2.2.4
Canonical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3146
9.3 Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3148
9.3.1
Newton’s laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3153
9.3.1.1
Newton’s first law (Inertia law)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3153
9.3.1.2
Newton’s second law (Fundamental Principle of Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . 3156
9.3.1.3
Newton’s third law (Law of Action and Reaction)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3163
9.3.2
Center of Mass and Reduced Mass
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3167
9.3.2.1
Center of Mass Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3170
9.3.2.2
Guldin’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3175
9.3.3
Kinematics of Rectilinear Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178
9.3.3.1
Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3179
9.3.3.2
Velocity and speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3179
9.3.3.2.1
Motion parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3183
9.3.3.3
Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3185
9.3.3.3.1
Osculator Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3191
9.3.3.4
Galilean Relativity Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3193
9.3.4
Angular Momentum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3198
xxvii
9.3.4.1
Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3205
9.3.5
Static Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210
9.3.5.1
Lami’s theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3215
9.3.6
Ballistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3217
9.3.6.1
Ballistic equation without friction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219
9.3.6.2
Ballistic equation with friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223
9.3.6.3
Ballistic accounting Earth’s curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3225
9.3.7
Kinematics of Circular Motion (rotational kinematics) . . . . . . . . . . . . . . . 3234
9.3.8
Energy, Work and Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3247
9.3.8.1
Conservative vector field
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3248
9.3.8.2
Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3250
9.3.8.2.1
Moment of inertia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3251
9.3.8.2.2
Gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3271
9.3.8.2.2.1
Classical Approach with precession only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3273
9.3.8.2.2.2
Lagrangian Approach with precession and nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3279
9.3.8.2.3
König’s kinetic and angular momentum theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3293
9.3.8.2.3.1
First König’s Theorem (König’s angular momentum theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3294
9.3.8.2.3.2
Second König’s Theorem (König’s kinetic energy theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3295
9.3.8.3
Gravitational Potential Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3296
9.3.8.3.1
Gravitational Potential Energy of a Material Sphere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3301
9.3.8.3.2
Gravitational Effective potential
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3303
9.3.8.4
Conservation of Total Mechanical Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3305
9.3.8.4.1
Generalized Newton law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3307
9.3.8.5
Conservation of Linear Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312
9.3.8.5.1
Elastic Collision in 1-dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3314
9.3.8.5.2
Elastic Collision in 2-dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3316
9.3.8.5.3
Inelastic Collision in 2-dimensions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3317
9.3.8.5.4
Rebound (stacked ball drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3318
9.3.8.6
Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3323
9.3.8.6.1
Power of a turning machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3325
9.3.8.6.1.1
Power yield
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3326
9.3.9
Relative Movements and Inertial Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3328
9.3.9.1
Coriolis force and deflection magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3336
9.3.9.1.1
Coriolis deviation of free falling objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3341
9.3.9.2
Eötvös effect
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3343
9.3.10 Oscillating Movements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348
9.3.10.1
Newton’s cradle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348
9.3.10.2
Simple Pendulum (mass-wire pendulum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3350
9.3.10.3
Physical Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3358
9.3.10.4
Elastic Pendulum (mass-spring pendulum)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3361
9.3.10.4.1
One degree of freedom elastic pendulum with/without friction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3361
9.3.10.4.2
Harmonic oscillator (Lorentz oscillator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3366
9.3.10.4.3
Two degrees of freedom elastic pendulum without friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3366
9.3.10.5
Conical Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3368
9.3.10.6
Torsion Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3370
xxviii
9.3.10.7
Foucault’s Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3371
9.3.10.8
Huygens’ Pendulum (and brachistochrone curve)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3378
9.3.10.9
Double Pendulum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3385
9.3.10.10 Triple linear coupled pendulum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3390
9.3.10.11 Inverted Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3392
9.3.11 Tribology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3396
9.3.11.1
Exponential Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406
9.3.11.2
Horizontal Viscous Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3409
9.3.11.3
Vertical Viscous Friction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410
9.3.11.4
Stokes’ Vertical Viscous Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411
9.3.11.5
Stokes’ Horizontal Viscous Friction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414
9.3.11.6
Friction’s Heat Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417
9.4 Wave Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418
9.4.1
Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418
9.4.2
Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419
9.4.3
Type of Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3421
9.4.3.1
Periodic Waves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3421
9.4.3.2
Harmonic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3422
9.4.3.2.1
Phase velocity and Group velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3424
9.4.3.3
Stationary Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3426
9.4.3.4
Vibration Modes in a Stretched String
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3429
9.4.3.4.1
Dirichlet Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3431
9.4.3.4.2
Neumann Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3438
9.4.4
Non-relativistic Lagrangian of a String
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439
9.4.5
Vibrational modes of a circular membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3443
9.4.6
Phasors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3453
9.4.7
Superposition of periodic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3460
9.4.7.1
AM/FM Broadcasting
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3466
9.5 Statistical Mechanics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468
9.5.1
Statistical Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468
9.5.1.1
High Entropy Structures
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479
9.5.1.2
Usual Shannon entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3481
9.5.1.3
Perplexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3484
9.5.1.4
Kullback–Leibler divergence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3485
9.5.2
Boltzmann law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3491
9.5.3
Statistical Physics Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3497
9.5.3.1
Maxwell Distribution (velocity distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3497
9.5.3.2
Maxwell-Boltzmann Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3503
9.5.3.3
Boltzmann Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510
9.5.3.4
Fermi-Dirac Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512
9.5.3.5
Bose-Einstein Distribution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3517
9.5.4
Brownian Motion (random walk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523
9.6 Thermodynamics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3538
9.6.1
Thermodynamic Variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3540
9.6.2
Thermodynamics Systems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3543
xxix
9.6.3
Thermodynamic Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3544
9.6.4
State Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3548
9.6.4.1
Phases
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3550
9.6.5
Equation of State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552
9.6.5.1
Ideal Gas law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3553
9.6.5.2
State equation of a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3554
9.6.5.3
State equation of Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3556
9.6.6
Laws of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3559
9.6.7
Calorific Capacities (heat capacity)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3561
9.6.7.1
Newton’s Law of Cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3575
9.6.8
Internal Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3576
9.6.8.1
Work (energy) of Mechanical Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3580
9.6.8.2
Enthalpy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3582
9.6.8.3
Laplace’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585
9.6.8.4
Saint-Venant Thermodynamic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3590
9.6.8.5
Thermoelastics coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3592
9.6.9
Heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3595
9.6.9.1
Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3597
9.6.9.1.1
Life, evolution, and the second law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3603
9.6.9.1.2
Heat Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3604
9.6.9.2
Carnot Cycle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3606
9.6.10 Maxwell relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610
9.6.11 Continuity Equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3617
9.6.11.1
Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622
9.6.11.1.1
Fick’s laws of diffusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3636
9.6.12 Thermal radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3641
9.6.12.1
Black Body radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3642
9.6.12.1.1
Stefan–Boltzmann law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3644
9.6.12.1.2
Planck’s law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3654
9.6.12.2
Summing up all types of heat transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3669
9.7 Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3672
9.7.1
Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3673
9.7.1.1
Pressures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3673
9.7.1.2
Elasticity of Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3676
9.7.1.2.1
Hooke’s law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3682
9.7.1.2.2
Shear Modulus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3689
9.7.1.2.3
Compressibility Modulus (bulk modulus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3698
9.7.1.2.4
Flexural Modulus (bending modulus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3700
9.7.1.2.5
Tranverse Wave in Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3703
9.7.2
Liquids (fluid mechanics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3708
9.7.2.1
Pascal’s Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711
9.7.2.2
Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713
9.7.2.2.1
Poiseuille’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3717
9.7.2.2.2
Viscous force on a fluid element
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3720
9.7.2.3
Bernoulli’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3721
xxx
9.7.2.3.1
Torricelli’s barometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3729
9.7.2.3.2
Torricelli’s law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3731
9.7.2.3.3
Siphon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3736
9.7.2.3.4
Communicating vessels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3738
9.7.2.3.5
Venturi effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3741
9.7.2.3.6
Pitot Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3744
9.7.2.3.7
Pressure drop (pressure loss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3747
9.7.2.4
Navier-Stokes Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3749
9.7.2.4.1
Incompressible flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3765
9.7.2.4.1.1
Vorticity and vorticity equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3774
9.7.2.4.1.2
Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3782
9.7.2.4.2
Compressible flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3783
9.7.2.4.3
Static flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3783
9.7.2.4.4
Reynolds number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3784
9.7.2.4.5
Boussinesq approximation (buoyancy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3787
9.7.2.4.6
Stokes’ law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3789
9.7.2.4.6.1
Why don’t clouds fall? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3796
9.7.2.4.7
Betz’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3797
9.7.2.4.7.1
Wind pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3802
9.7.2.5
Hydrostatic Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3804
9.7.2.6
Archimedes’ principle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3807
9.7.2.7
Surface tension
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814
9.7.2.8
Speed of sound in a liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3816
9.7.3
Gas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3817
9.7.3.1
Types of Gas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3817
9.7.3.1.1
Perfect Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3817
9.7.3.1.2
Real Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3826
9.7.3.2
Virial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3826
9.7.3.2.1
Equipartition theorem of energy derivation based on quantum physics and statistical mechanics . . . . . .
3840
9.7.3.3
Kinetic Pressures (kinetic theory of gases) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3847
9.7.3.4
Kinetic Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3850
9.7.3.5
Amagat and Dalton’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3853
9.7.3.6
Mean free path (in kinetic theory)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3854
9.7.3.7
Sackur-Tetrode equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3859
9.7.3.7.1
Case for distinguishable particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3859
9.7.3.7.2
Case for indistinguishable particles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3861
9.7.3.8
Generalized Bernoulli equation (for gases)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3864
9.7.3.9
Magnus (gravitational) Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3866
9.7.3.9.1
Naive approach for the spherical and cylinder rotating case . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3867
9.7.4
Plasmas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3872
9.7.4.1
Plasma Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3874
9.7.4.2
Lawson Criterion for D-T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3878
9.7.4.3
Saha ionization equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3881
9.7.4.4
Ionospheric propagation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3885
xxxi
10 Electromagnetism
3891
10.1 Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3895
10.1.1 Electric Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3896
10.1.2 Electric Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3903
10.1.2.1
Path Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3906
10.1.3 Equipotential and Field lines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3907
10.1.3.1
Infinite straight wire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3909
10.1.3.2
Electric Rigid Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911
10.1.4 Electric Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3923
10.1.4.1
Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924
10.1.4.1.1
Dielectric strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3930
10.1.5 Electrostatic potential energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3931
10.2 Magnetostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3934
10.2.1 Ampère’s theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3937
10.2.1.1
Infinitely long solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939
10.2.1.2
Toroidal coils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3943
10.2.1.3
Electromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3944
10.2.1.3.1
Strength of a magnet or electromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3945
10.2.2 Maxwell-Ampère Relation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3947
10.2.3 Biot-Savart law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3948
10.2.3.1
Magnetic field for a current loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3950
10.2.3.2
Magnetic field for an infinite wire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3951
10.2.4 Magnetic dipole
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3955
10.2.4.1
Magnetic torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3975
10.2.5 Lorentz law (Lorentz force) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3977
10.2.5.1
Magnetic Vector Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3982
10.2.5.2
Work of Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3987
10.2.5.3
Classical Hall effect
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3990
10.2.5.4
Larmor radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3993
10.2.5.5
Energy of a magnetic dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4006
10.2.6 Langevin treatment of Diamagnetism and Paramagnetism
. . . . . . . . . . . . . 4010
10.2.6.1
Langevin model of diamagnetism
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010
10.2.6.2
Langevin model of paramagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013
10.3 Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4019
10.3.1 Maxwell Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4020
10.3.1.1
First Maxwell Equation (constant electric flow)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4020
10.3.1.2
Second Maxwell Equation (non-existence of magnetic monopole) . . . . . . . . . . . 4024
10.3.1.3
Third Maxwell Equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4026
10.3.1.3.1
Betatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4028
10.3.1.4
Fourth Maxwell Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4031
10.3.1.5
Magnetic Monopoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4035
10.3.2 Charge conservation equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4037
10.3.3 Gauge Theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4038
10.3.3.1
Electromagnetic field tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4045
10.3.4 Electromagnetic wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4062
xxxii
10.3.4.1
Foucault light speed experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4069
10.3.4.2
Helmholtz equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4076
10.3.4.3
Energy flow transportation (Poynting vector)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4078
10.3.4.4
Emissions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4082
10.3.5 Synchrotron radiation (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4085
10.3.5.1
Liénard-Wiechert potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4090
10.3.5.2
Retarded Electric and Magnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4097
10.3.5.3
Power radiated through an elementary surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110
10.3.5.3.1
Larmor’s equation (non-relativistic derivation)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4120
10.3.5.3.2
Abraham-Lorentz force
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4123
10.3.6 Dipole antenna radiation pattern derivation (Hertz Electric Dipole) . . . . . . . . . 4125
10.3.6.1
The L = λ/2 (half-wave) far-field resonant antenna
. . . . . . . . . . . . . . . . . 4136
10.4 Electrokinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4141
10.4.1 Kirchhoff’s laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4143
10.4.1.1
Mesh law (Kirchhoff’s Loop Law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4143
10.4.1.2
Nodes law (Kirchhoff’s Point Law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4144
10.4.2 Drude model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4147
10.4.3 Ohm’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4155
10.4.3.1
Complex Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4159
10.4.3.2
Simple (harmonic oscillator) model of dielectric and conductors (and plasmas)
. . . . . 4161
10.4.3.2.1
Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4162
10.4.3.2.2
Conductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4165
10.4.3.3
Equivalent Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4167
10.4.3.4
Equivalent Capacities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4169
10.4.3.5
Equivalent Inductance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4171
10.4.4 Electromotive Force
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4174
10.4.4.1
Faraday’s law of induction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4178
10.4.4.1.1
Lenz’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4181
10.4.4.2
Inductance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4181
10.4.5 Electromagnetic Waves in Conductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4187
10.4.5.1
Skin effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4187
10.4.5.2
Phase and group velocity of EM waves inside conductors (modified Maxwell equations) . 4191
10.4.6 Semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4198
10.4.6.1
Non-degenerated statistic density of negative electric charge carriers . . . . . . . . . . 4210
10.4.6.2
Non-degenerated statistic density of positive electric charge carriers . . . . . . . . . . 4215
10.4.6.3
Energy bands (conduction band, band gap, valence band) . . . . . . . . . . . . . . . 4219
10.4.6.4
Ohm’s law of Semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4223
10.4.7 Superconductivity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4225
10.4.7.1
Meissner effect (second London’s equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4226
10.5 Optics (ray optics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4232
10.5.1 Sources and Shadows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4234
10.5.2 Colors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4243
10.5.3 Radiometry/Photometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4254
10.5.3.1
Energy flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4254
10.5.3.1.1
Beer–Lambert law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4254
xxxiii
10.5.3.2
Light Intensity (Radiant Intensity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4256
10.5.3.3
Energy Emittance (Radiant Emittance) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4257
10.5.3.4
Radiance and Luminance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4260
10.5.3.4.1
Lambert’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4263
10.5.3.5
Kirchhoff’s law of Radiation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4264
10.5.3.6
Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4265
10.5.4 Law of Refraction and Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4266
10.5.4.1
Refractive index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4271
10.5.4.1.1
Index of refraction rate of change with altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4273
10.5.4.2
Snell’s law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4277
10.5.4.3
Rainbow
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4285
10.5.4.4
The 22◦Halo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4298
10.5.4.5
Optical Mirages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310
10.5.4.5.1
Lagrangian approach to optical mirage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4313
10.5.4.5.2
Snell’s law differential approach to air mirroring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4316
10.5.4.5.3
Differential form of long range mirages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4323
10.5.4.6
Cherenkov radiation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327
10.5.5 Descartes’ Formulas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4329
10.5.5.1
Stigmatism
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4333
10.5.5.2
Lenses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4339
10.5.5.2.1
Optical Magnification (zoom) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4354
10.5.5.2.2
Angle of View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4364
10.5.5.2.3
Human eyes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4369
10.5.5.2.3.1
Eye magnification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4370
10.5.5.3
Triangular Prism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4373
10.5.5.4
Pentaprism
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4377
10.6 Wave Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4381
10.6.1 Huygens’ principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4381
10.6.1.1
Normal refraction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4391
10.6.1.2
Thin film interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4393
10.6.1.3
Fresnel coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4395
10.6.2 Fraunhofer Diffraction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4403
10.6.2.1
Case of a small rectangular aperture (slit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4403
10.6.2.1.1
Optical resolution in the far field region for small rectangular aperture . . . . . . . . . . . . . . .
4411
10.6.2.2
Case of a network of small rectangular apertures (slits) . . . . . . . . . . . . . . . . 4413
10.6.2.3
Young’s interference experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4420
10.6.3 Fresnel diffraction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4427
10.6.3.1
Case of a rectangular aperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4427
10.6.3.2
Case of a circular aperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4431
10.6.3.2.1
Optical resolution in the near field region for circular aperture . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4439
10.6.3.3
Case of a circular obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4446
10.6.4 Light polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4448
10.6.4.1
Linear polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4453
10.6.4.2
Elliptical polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4454
10.6.4.3
Circular polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4456
xxxiv
10.6.4.4
Natural polarization
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4457
10.6.4.5
Malus’ law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4460
10.6.5 Coherence and interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4464
10.6.6 LASER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4469
10.6.6.1
LASER Dispersion/Divergence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4477
10.6.7 Fiber Optics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4486
11 Atomistic
4494
11.1 Corpuscular Quantum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4498
11.1.1 Dalton’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4502
11.1.2 Thomson’s Model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4503
11.1.3 Rutherford’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4503
11.1.4 Bohr’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4506
11.1.4.1
Bohr’s Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4506
11.1.4.2
Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4507
11.1.4.3
Hydrogen Type Atoms Model without dragging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510
11.1.4.4
Hydrogen Type Atoms Model with dragging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4519
11.1.4.5
Neutron Assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4522
11.1.5 Wilson and Sommerfeld’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4525
11.1.6 Relativistic Sommerfeld Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4529
11.1.6.1
Magnetic dipole moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4546
11.1.6.2
Spin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4549
11.1.6.3
Pauli exclusion principle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4552
11.1.7 Electron configuration (atomic orbital) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4555
11.2 Wave Quantum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4568
11.2.1 Postulates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4570
11.2.1.1
1st Postulate: Quantum State
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4571
11.2.1.2
2nd postulate: Time evolution of a quantum state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4574
11.2.1.3
3rd postulate: Observables and operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4575
11.2.1.4
4th postulate: Measure of a property (collapse postulate) . . . . . . . . . . . . . . . 4577
11.2.1.5
5th postulate: Average of a property
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4579
11.2.2 Classical principles of uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4582
11.2.2.1
First classical uncertainty relation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4584
11.2.2.2
Second classical uncertainty relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4584
11.2.2.3
Third classical uncertainty relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4586
11.2.3 Quantum algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4589
11.2.3.1
Linear functional operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4589
11.2.3.1.1
Hermitian and Self-adjoint operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4592
11.2.3.1.2
Commutators and Anticommutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4596
11.2.3.1.3
Representatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4601
11.2.3.1.4
Eigenvalues and Eigenfunctions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4603
11.2.3.1.4.1
Orthogonality of eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4605
11.2.3.1.5
Dirac formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4607
11.2.3.1.5.1
Kets and Bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4607
11.2.3.2
Robertson uncertainty relations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611
xxxv
11.2.3.2.1
Energy-Time Heisenberg’s uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4617
11.2.3.2.2
Zero-Point Energy from the uncertainty principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4618
11.2.3.3
Fourier uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622
11.2.4 Schrödinger Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4625
11.2.4.1
de Broglie associated wave
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4625
11.2.4.1.1
Electronic microscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4628
11.2.4.2
Classical (time independent) Schrödinger Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . 4635
11.2.4.2.1
Schrödinger Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4637
11.2.4.2.2
De Broglie normalization condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4641
11.2.4.2.3
Bound and unbound states
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4645
11.2.4.3
Classical Shrödinger equation of evolution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4646
11.2.4.3.1
Operator of evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4647
11.2.4.3.2
Conserved Quantities and Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4653
11.2.4.3.3
Schrödinger picture by separation of variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4654
11.2.4.3.4
Linear combination of eigen-states (quantum superposition)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4656
11.2.4.3.5
Schrödinger continuity equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4660
11.2.4.4
Implications and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4661
11.2.4.4.1
Free particles (zero potential)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4662
11.2.4.4.1.1
Gaussian Wavepacket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4669
11.2.4.4.2
Infinite (rectangular) potential well
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4673
11.2.4.4.3
First approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4674
11.2.4.4.4
Second approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4679
11.2.4.4.5
Fermi Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4682
11.2.4.4.6
1D-Harmonic oscillator
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4684
11.2.4.4.7
Planck’s Zero-Point Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4697
11.2.4.4.8
Electromagnetic Casimir Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4701
11.2.4.4.8.1
One dimensional case (naive approach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4702
11.2.4.4.8.2
Three dimensional case
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4705
11.2.4.4.9
Tunnel Effect (barrier potential / radioactivity)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4715
11.2.4.4.9.1
Quantum time tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4732
11.2.4.5
Superposition principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4733
11.2.4.6
Ehrenfest theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4746
11.2.4.6.1
Generalized Ehrenfest Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4750
11.2.5 Angular momentum and Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4753
11.2.5.1
Spin–orbit interaction (LS coupling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4775
11.2.5.2
Spin operator for spin 1/2 particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4779
11.2.6 Planck’s dimensions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4781
11.2.7 Wave Quantum Physics Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4787
11.2.7.1
Copenhagen interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4787
11.2.7.1.1
EPR paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4789
11.2.7.2
De Broglie-Bohm (pilot-wave) interpretation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4791
11.3 Relativistic Quantum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4795
11.3.1 Relativistic Schrödinger evolution equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4796
11.3.1.1
Antimatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4798
11.3.2 Generalized Klein-Gordon Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4800
xxxvi
11.3.2.1
Generalized Klein-Gordon Equation continuity equation
. . . . . . . . . . . . . . . 4803
11.3.3 Classical free Dirac equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4807
11.3.3.1
Gamma, alpha, beta matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4816
11.3.3.2
Free particle solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4821
11.3.3.3
Free particle solution at rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4826
11.3.3.4
Majorana equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4828
11.3.4 Linearised Dirac Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4831
11.3.4.1
Linearised Dirac Equation continuity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4843
11.3.4.2
Linearised Dirac Equation Angular Momentum + Helicity Conservation
. . . . . . . . 4846
11.3.5 Generalized Dirac Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4851
11.3.6 Pauli Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4852
11.3.6.1
Landé g-factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4862
11.3.6.2
Lamb Shift
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4867
11.3.7 CPT Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4871
11.3.7.1
Charge symmetry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4871
11.3.7.2
Parity symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4872
11.3.7.3
CP symmetry (from Matter to Antimatter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4874
11.3.7.4
Time Reversal symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4874
11.3.7.5
CP and T symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4875
11.3.7.6
CPT violations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4876
11.3.7.7
CPT classical analogy (with Maxwell equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4880
11.3.7.8
CPT with Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4882
11.4 Nuclear Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4888
11.4.1 Nuclear Weapon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4888
11.4.2 Radioactivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4892
11.4.2.1
Disintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4898
11.4.2.1.1
Half-life and Mean life isotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4899
11.4.2.2
Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4902
11.4.2.2.1
Radiometric dating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4905
11.4.2.2.1.1
Carbon-14 dating (radiocarbon dating)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4905
11.4.2.2.1.2
Rubidium-87 dating (meteorites dating/isochron dating) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4911
11.4.2.2.1.3
Young Earth heat problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4916
11.4.2.2.2
Radioactive Decay chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4919
11.4.2.3
Two level radioactive cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4920
11.4.2.3.1
Secular equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4922
11.4.2.3.2
Transient equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4924
11.4.2.3.3
Non-equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4924
11.4.2.4
Radioactive phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4925
11.4.2.4.1
Nuclear Fusion (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4933
11.4.2.4.2
Nuclear Fission (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4937
11.4.2.4.3
Alpha Disintegration (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4944
11.4.2.4.4
Beta- Disintegration (4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4953
11.4.2.4.5
Beta+ Disintegration (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4956
11.4.2.4.6
Electronic capture (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4957
11.4.2.4.7
Gamma emission (7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4958
xxxvii
11.4.2.4.8
Internal conversion (8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4959
11.4.3 Radiation protection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4961
11.4.3.1
Bethe formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4961
11.4.3.2
Compton scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4965
11.4.3.2.1
Thomson scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4969
11.4.3.3
Rayleigh scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4971
11.4.3.4
Photoelectric effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4975
11.4.3.5
Rutherford scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4980
11.4.3.6
X-rays and Gamma rays
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4989
11.4.3.6.1
Electron-Positron pair production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4995
11.4.3.7
Radiation dosimetry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4998
11.4.4 Liquid Drop Model of Nucleus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010
11.4.4.1
Volumetric binding energy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012
11.4.4.2
Superficial binding energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012
11.4.4.3
Coulomb electrostatic repulsive energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013
11.4.4.4
Energy of asymmetry (Pauli energy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014
11.4.4.5
Pairing Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018
11.5 Quantum Field Theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5027
11.5.1 Yukawa potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5032
11.5.1.1
Mass fields
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5034
11.5.1.2
Non-mass fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5035
11.5.2 Euler-Lagrange equation for Fields
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5037
11.5.2.1
Field interactions (λφ4 theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5050
11.5.3 Gauge Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5053
11.5.3.1
Global Gauge invariance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5054
11.5.3.2
Local Gauge invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5056
11.6 Elementary Particle Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5062
11.6.1 Coupling Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5064
11.6.2 Spin magnetic resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5073
12 Cosmology
5079
12.1 Astronomy (Celestial Mechanics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5084
12.1.1 Sun, Moon distances and radii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5085
12.1.2 Drake Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5092
12.1.2.1
Habitale Zone (HZ)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5094
12.1.3 Kepler’s Laws
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5100
12.1.3.1
First Kepler’s Law (conicity law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5101
12.1.3.2
Second Kepler’s Law (area law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5101
12.1.3.2.1
Acceleration variation on an elliptic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5104
12.1.3.2.2
Time of flight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5105
12.1.3.3
Third Kepler’s Law (periods’ law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5109
12.1.4 Newton’s Gravitational Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119
12.1.4.1
Cavendish Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5133
12.1.4.2
Gaussian formulation of Newtonian Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5140
12.1.4.3
Shell Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5144
xxxviii
12.1.4.4
Orbital speed
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5145
12.1.4.5
Gravitational field of a homogeneous disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5147
12.1.4.6
Collision time of two objects at rest
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5158
12.1.4.7
Asteroids/Meteors impact velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5160
12.1.4.8
Spherisation of Celestial Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5162
12.1.4.8.1
Flattening of Celestial Bodies (rotational flattening)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5163
12.1.4.8.2
Empirical evidence that Earth isn’t globally flat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5177
12.1.4.9
Stability of Atmospheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5194
12.1.4.10 Planetary equilibrium temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5197
12.1.5 Roche’s Limit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5199
12.1.6 Keplerian Orbitals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5202
12.1.6.1
First Binet Formula (radial velocity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5202
12.1.6.2
Second Binet Formula (radial acceleration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5208
12.1.6.3
Keplerian orbital period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212
12.1.6.4
Average distance between two planets
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218
12.1.6.5
Classical deflection of light (light bending) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5220
12.1.6.6
Classical precession of perihelion (apsidal precession) . . . . . . . . . . . . . . . . 5223
12.1.7 Duration of the diurnal arc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5234
12.1.7.1
Evolution of diurnal arc (i.e. Earth-Moon distance) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5241
12.1.8 Trigonometric parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5244
12.1.9 Planets’ Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5250
12.1.9.1
Synodic and Sidereal period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5251
12.1.9.2
Planet’s apparent retrograde motion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5256
12.1.10 Equation of Time and Analemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5265
12.1.10.1 Eccentricity component (variable angular velocity of Earth) . . . . . . . . . . . . . . 5267
12.1.10.2 Obliquity (inclined plane of the ecliptic) and Sun anomaly
. . . . . . . . . . . . . . 5279
12.1.10.3 Calculation of the Equation of Time
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5283
12.1.11 Sundials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5295
12.1.11.1 Equatorial sundials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5298
12.1.11.2 Vertical sundials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5300
12.1.11.3 Horizontal sundials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5303
12.1.11.4 Anammelatic (azimuthal) sundials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5306
12.1.12 Eclipses and saros cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317
12.1.13 Lagrange Points
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5328
12.1.13.1 Equilibrium points of the first type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5339
12.1.13.1.1 L1 Lagrange point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5339
12.1.13.1.2 L2 Lagrange point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5344
12.1.13.1.3 L3 Lagrange point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5347
12.1.13.2 Equilibrium points of the second type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5349
12.1.13.2.1 L4, L5 Lagrange points
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5349
12.1.13.3 Hill sphere (sphere of influence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5355
12.1.14 Relativistic Doppler-Fizeau Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5359
12.1.14.1 Apparent speed
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5366
12.2 Astrophysics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5369
12.2.1 Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5369
xxxix
12.2.1.1
Stellar Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5379
12.2.1.1.1
Collapse of an Interstellar Cloud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5379
12.2.1.1.1.1
Limit Mass Cloud for Ionization (rogue planets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5382
12.2.1.1.1.2
Limit Mass Cloud for Fusion (Black Dwarf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5383
12.2.1.1.1.3
Entropy of a gas collapsing under gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5385
12.2.1.1.2
Nuclear Duration Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5388
12.2.1.1.3
Internal Temperature
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5392
12.2.1.1.4
External Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5396
12.2.1.1.5
Equation of Hydrostatic Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5402
12.2.1.1.6
Brightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5405
12.2.1.1.7
Shining (apparent brightness)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5406
12.2.1.1.8
Apparent magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5409
12.2.1.1.9
Absolute magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5415
12.2.1.1.9.1
Why are stars not visible on most space photos and videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5419
12.2.1.1.10 Eddington limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5425
12.2.1.2
Pulsative Variable Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5429
12.2.1.3
Neutron Stars (magnetars/pulsars) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5434
12.2.1.3.1
Chandrasekhar limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5435
12.2.1.3.2
Rotation break limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5440
12.2.1.3.3
Neutron Star Masses and Densities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5442
12.2.1.3.4
Neutron Star magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5443
12.2.1.3.5
Spin-Down Luminosity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5444
12.2.2 Galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5448
12.2.2.1
Probability of collisions in merging galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5451
12.2.2.2
Radial Speed Anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5453
12.3 Special Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5455
12.3.1 Assumptions and Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5456
12.3.1.1
Postulate of Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5457
12.3.1.2
Cosmological Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5458
12.3.1.3
Special Relativity Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5458
12.3.2 Lorentz Transformations/Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5461
12.3.2.1
Displacement four-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5465
12.3.2.1.1
Wave Equation Invariance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5468
12.3.2.1.2
Hypergeometric interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5469
12.3.2.2
Velocity four-vector
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5470
12.3.2.3
Current four-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5474
12.3.2.4
Acceleration four-vector
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5475
12.3.2.5
Relativistic sum of velocities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5480
12.3.2.6
Relativistic lengths variation (length contraction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5482
12.3.2.7
Relativistic apparent angle rotation (Lampa–Terrell–Penrose effect)
. . . . . . . . . . 5485
12.3.2.8
Relativistic time variation (time dilatation)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5487
12.3.2.8.1
Lewis Carrol Epstein interpretation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5490
12.3.2.8.2
Hafele–Keating experiment (special relativity version)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5492
12.3.2.8.3
Twins paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5497
12.3.2.9
Apparent relativistic mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5498
xl
12.3.2.9.1
Why is Gold yellow?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5503
12.3.2.9.2
Mass–Energy equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5507
12.3.2.9.3
Relativistic Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5509
12.3.2.9.4
Relativistic (linear) momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5512
12.3.2.9.4.1
Einstein relation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5516
12.3.2.9.4.2
Time of flight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5517
12.3.2.9.4.3
Relativistic force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5519
12.3.2.10 Relativistic electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522
12.3.2.10.1 Tensor field transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5530
12.3.3 Minkowski space-time
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5531
12.3.3.1
Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534
12.3.3.2
Universe light cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5535
12.4 General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5545
12.4.1 Assumptions and Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5546
12.4.1.1
Equivalence Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5546
12.4.1.2
Mach Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5551
12.4.2 Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5551
12.4.2.1
Schild Criteria (Einstein redshift effect Newtonian approach) . . . . . . . . . . . . . 5559
12.4.3 Equations of movement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5561
12.4.3.1
Geodesic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5570
12.4.3.2
Newtonian Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5575
12.4.4 Stress-Energy Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5578
12.4.4.1
Stress-Energy Tensor for a perfect fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5585
12.4.4.2
Electromagnetic stress–energy tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5587
12.4.5 Einstein’s Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5589
12.4.5.1
Cosmological Constant (CC)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5597
12.4.5.2
Weak field approximation with cosmological constant
. . . . . . . . . . . . . . . . 5601
12.4.5.3
Einstein-Maxwell equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5603
12.4.5.4
Schwarzschild Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5604
12.4.6 Experimental Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618
12.4.6.1
Gravitational Redshift
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618
12.4.6.2
Precession of Mercury’s Perihelion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5622
12.4.6.3
Deflection of Light (light bending) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5634
12.4.6.4
Shapiro Effect (delay)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5643
12.4.6.5
Hafele–Keating experiment (general relativity version) . . . . . . . . . . . . . . . . 5649
12.4.6.6
Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5656
12.4.6.6.1
Schwarzschild Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5657
12.4.6.6.1.1
Black Hole innermost stable circular orbit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5661
12.4.6.6.1.2
Black Hole photon sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5674
12.4.6.6.1.3
Black Hole free fall proper time to singularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5676
12.4.6.6.1.4
Black Hole Flamm’s paraboloid representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5679
12.4.6.6.1.5
White Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5681
12.4.6.7
Gravitational waves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5682
12.4.7 Einstein-Hilbert action
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5688
12.4.7.1
Einstein-Hilbert action with cosmological constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5694
xli
12.4.7.2
Einstein-Hilbert action with matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5695
12.5 Cosmogony
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5697
12.5.1 Newtonian (i.e. non-relativistic) Cosmological Models . . . . . . . . . . . . . . . 5699
12.5.1.1
Hubble’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5702
12.5.2 Friedmann Equations (Newtonian derivation)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710
12.5.2.1
Critical Density and Density parameters
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5715
12.5.3 Friedmann-Lemaître Euclidean Cosmological Models . . . . . . . . . . . . . . . 5723
12.5.3.1
Flat spaces (k = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5723
12.5.3.1.1
Flat space dominated by matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5725
12.5.3.1.2
Flat space dominated by radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5726
12.5.3.1.2.1
Standard form of the Friedmann equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5729
12.5.3.1.3
Flat space dominated by vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5736
12.5.3.2
Spherical spaces (k > 0)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5738
12.5.3.2.1
Spherical space dominated by matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5745
12.5.3.2.2
Spherical space dominated by radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5748
12.5.3.2.3
Spherical space dominated by vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5750
12.5.3.3
Hyperbolic spaces (k < 0)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5752
12.5.3.3.1
Hyperbolic space dominated by matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5756
12.5.3.3.2
Hyperbolic space dominated by radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5759
12.5.3.3.3
Hyperbolic space dominated by vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5762
12.5.4 Observable Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5764
12.5.5 Cosmic Microwave Background (CMB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5784
12.5.5.1
Decoupling time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5786
12.5.5.2
Matter/Photon decoupling (recombination temperature) . . . . . . . . . . . . . . . . 5791
12.5.5.3
Background radiation temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5802
12.5.6 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Cosmological Models . . . . . . . . . . . 5805
12.5.6.1
Robertson-Walker metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5805
12.5.6.2
Cosmological Redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812
12.5.6.3
Comobile Universe Diameter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816
12.5.6.4
Size of the Universe depending on its curvature
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5818
12.5.6.5
General Friedmann equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5822
12.5.6.6
Einstein (static) Universe model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5830
12.5.6.7
Milne linear Universe model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5831
12.5.6.8
Friedmann Universe models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5832
12.5.7 Friedmann historical derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5867
12.5.8 The Black Hole Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5875
12.5.9 Borde-Guth-Vilenkin Theorem (BGV Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5878
12.5.10 Empirical evidence of the Cosmic Inflation theory (i.e. Big Bang)
. . . . . . . . . 5886
12.6 Quantum Gravity/Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5889
12.6.1 Newton Quantum Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5890
12.6.2 Wheeler-DeWitt Quantum Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5899
12.6.2.1
Wheeler-Dewitt equation for Newtonian Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5901
12.6.2.2
Wheeler-Dewitt equation for FLRW Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5904
12.6.3 Why our Universe is a quite massive unpredictable mess . . . . . . . . . . . . . . 5911
12.7 String Theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913
xlii
12.7.1 Wave equation of a transversal string
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5915
12.7.2 Non-relativistic Wave equation of a transversal string
. . . . . . . . . . . . . . . 5917
12.7.2.1
Nambu-Goto Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5923
12.7.3 Lagrangian of a String
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5931
13 Chemistry
5935
13.1 Quantum Chemistry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5936
13.1.1 Infinite three-dimensional rectangular potential
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5938
13.1.2 Molecular Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5941
13.1.3 Hydrogenoid Atom (Schrödinger model)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5943
13.1.3.1
Rigid Rotator
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5947
13.1.3.2
Non-Rigid Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5986
13.1.3.2.1
Potential Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6000
13.2 Molecular Chemistry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6003
13.2.1 Orbital Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6005
13.2.2 LCAO Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6009
13.2.3 Molecular Rotational Energy Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6018
13.2.4 Molecular Vibrational Energy Levels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6024
13.3 Analytical Chemistry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6030
13.3.1 Analytical chemistry process
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6036
13.3.2 Simple Mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6037
13.3.3 Chemical formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6039
13.3.4 Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6043
13.4 Thermochemistry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6051
13.4.1 Chemical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6051
13.4.2 Molar Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6054
13.4.2.1
Standard enthalpy of reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6061
13.4.2.1.1
Kirchhoff’s Enthalpy Law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6064
14 Theoretical Computing
6069
14.1 Numerical Methods/Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6074
14.1.1 Computer Representation of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6076
14.1.1.1
Decimal System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6076
14.1.1.2
Binary system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6077
14.1.1.2.1
Floating Point (Real Numbers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6079
14.1.1.2.2
Binary arithmetic (for fixed point/integers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6081
14.1.1.3
Hexadecimal System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6082
14.1.1.4
Octal System
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6082
14.1.1.5
Conversion of decimal system to non-decimal system:
. . . . . . . . . . . . . . . . 6084
14.1.2 Algorithm Complexity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6086
14.1.2.1
NP-Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6093
14.1.3 Integer Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6095
14.1.4 Heron’s Square Root Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6097
14.1.5 Archimedes Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6100
14.1.6 Euler’s Number e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6103
xliii
14.1.7 Stirling’s factorial approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6103
14.1.8 Linear Systems of Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6106
14.1.8.1
One equation with one unknown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6106
14.1.8.2
Two equations with two unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6106
14.1.8.3
Three equations with three unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6108
14.1.8.4
n equations with n unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112
14.1.9 Polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6114
14.1.10 Regression Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117
14.1.10.1 Univariate linear regression model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6123
14.1.10.1.1 Regression line
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6124
14.1.10.1.2 Ordinary Least Squares Method (OLSM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6125
14.1.10.1.3 Univariate Regression Variance Analysis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6130
14.1.10.1.4 F-test for Regression (significance test for linear regression)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6136
14.1.10.1.4.1
Test for Lack of Fit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6146
14.1.10.2 Univariate linear regression Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6149
14.1.10.2.1 Pearson Correlation Coefficient Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6159
14.1.10.2.2 Confidence interval of predicted values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6162
14.1.10.3 Linear univariate regression forced through the origin (RTO)
. . . . . . . . . . . . . 6170
14.1.10.4 Deming regression (orthogonal regression)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6173
14.1.10.4.1 Deming orthogonal regression log-likelihood derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6173
14.1.11 Multiple linear regression Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6180
14.1.11.1 Fisher Matrix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6190
14.1.11.2 R2 decomposition in multiple regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6191
14.1.11.3 Influential points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6192
14.1.11.4 Significance of regression coefficients (variable importance) . . . . . . . . . . . . . . 6196
14.1.11.5 Variance Inflation Factor (multicollinearity detection) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6199
14.1.11.5.1 Gauss-Markov theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6206
14.1.11.6 Weighted Least Squares (WLS)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6208
14.1.11.7 Model Selection Criteria
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213
14.1.11.7.1 Mallows’s Cp Linear Regression Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6213
14.1.11.7.2 Akaike Information Criterion (AIC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6219
14.1.11.7.3 Cross-Validation metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6228
14.1.12 Ridge, LASSO and Elastic Net regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6235
14.1.12.1 L2 Regularization or Ridge Regularization
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6236
14.1.12.2 L1 Regularization or LASSO Regularization
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6241
14.1.12.3 L1 + L2 Regularization or Elastic Net Regularization
. . . . . . . . . . . . . . . . 6243
14.1.12.4 Polynomial regression
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6245
14.1.12.5 Kernel regression
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6247
14.1.12.6 Logistic regressions (LOGIT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6249
14.1.12.6.1 Binomial Logistic regression
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6250
14.1.12.6.1.1
Binomial Logistic regression relative variable importance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6265
14.1.12.6.1.2
Binomial logistic regression residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6266
14.1.12.6.1.3
Hosmer–Lemeshow test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6267
14.1.12.6.1.4
Logistic Kolmogorov-Smirnov statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6270
14.1.12.6.1.5
Equivalence between the 2-sample Wald’s Z-test and the Rao score test over logistic regression with a single binary predictor . . . . . .
6271
xliv
14.1.12.6.2 Multinomial Logistic regression
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6276
14.1.12.6.2.1
F1 score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6282
14.1.12.6.3 Ordinal Logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6287
14.1.12.6.4 Log-Loss
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6294
14.1.12.6.5 Odds Ratio Confidence Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6296
14.1.12.6.5.1
Four-fold plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6301
14.1.12.6.6 Risk Ratio and its Confidence Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6303
14.1.12.6.7 ROC and Lift curves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6311
14.1.12.6.7.1
ROC curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6312
14.1.12.6.7.2
Lift curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6322
14.1.12.7 General Linear Models (GLM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6330
14.1.12.7.1 Normal GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6332
14.1.12.7.2 Poisson GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6334
14.1.12.7.3 Binomial GLM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6338
14.1.12.7.4 Binomial Negative GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6341
14.1.12.7.5 Gamma GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6348
14.1.12.8 Robust, M-estimators and W-estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6356
14.1.13 Interpolation Techniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6368
14.1.13.1 Bézier Curves (Bézier Splines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6368
14.1.13.2 Linear ordering isotonic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6380
14.1.13.3 Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6385
14.1.13.4 Polynomial of collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6389
14.1.13.5 Lagrange polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6392
14.1.13.6 Newton polynomials (divided differences) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6395
14.1.13.7 Errors in Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6400
14.1.14 Roots search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6401
14.1.14.1 Proportional parts methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6401
14.1.14.2 Secant method (Regula Falsi or False Position)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6404
14.1.14.3 Bisection method (interval-halving)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6407
14.1.14.4 Newton’s method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410
14.1.15 Numerical Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6417
14.1.16 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419
14.1.16.1 Rectangles method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6421
14.1.16.2 Trapezoidal method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6422
14.1.16.3 Newton–Cotes formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6424
14.1.16.3.1 Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6425
14.1.16.3.2 Composite Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6426
14.1.16.3.3 Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6427
14.1.16.4 Multidimensional integrals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6430
14.1.16.5 Numerical solution of ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 6435
14.1.16.5.1 Runge-Kutta methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6435
14.1.16.5.1.1
1st order Runge-Kutta method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6435
14.1.16.5.1.2
2nd order Runge-Kutta method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6436
14.1.16.5.1.3
4th order Runge-Kutta method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6440
14.1.17 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6443
xlv
14.1.17.1 Linear programming (Linear Optimization) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6444
14.1.17.1.1 Graphical LP resolution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6447
14.1.17.1.2 Algebraic LP resolution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6449
14.1.17.1.3 Simplex algorithm LP resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6454
14.1.17.2 Nonlinear programming (Nonlinear optimization) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6460
14.1.17.2.1 Substitution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6463
14.1.17.2.2 Lagrange Multipliers Method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6465
14.1.17.2.3 Newton-Raphson Method (Quadratic Newton)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6470
14.1.17.2.4 Gauss-Newton method’s (Tangent Newton)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6475
14.1.17.2.4.1
Gradient Descent/Ascent techniques summary
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6488
14.1.17.3 Expectation-Maximization (EM) algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6494
14.1.18 Resampling statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6504
14.1.18.1 Monte Carlo Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6505
14.1.18.1.1 Inverse Transform Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6507
14.1.18.1.2 Random number generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6510
14.1.18.1.3 Monte Carlo integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6514
14.1.18.1.4 Monte Carlo estimation of π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6518
14.1.18.1.5 Monte Carlo Modelling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6520
14.1.18.1.6 Monte Carlo variance reduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6524
14.1.18.1.6.1
Method of Antithetic Variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6526
14.1.18.1.6.2
Method of Control Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6527
14.1.18.1.6.3
Method of Conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6528
14.1.18.1.6.4
Method of Stratified Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6530
14.1.18.1.6.5
Importance Sampling (IS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6534
14.1.18.2 Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6537
14.1.18.3 Jackknife Resampling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6544
14.1.18.4 Permutation Tests
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6546
14.1.19 Finite difference method (F.D.M.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6549
14.1.19.1 One space dimension F.D.M.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6550
14.1.19.1.1 Numerical instability
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6553
14.1.19.1.2 von Neumann stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6554
14.1.19.2 Space-time F.D.M (finite-volume method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6556
14.1.20 Data Science & Data Mining
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6565
14.1.20.1 Training vs Test Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6591
14.1.20.2 Hyperparameters vs Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6599
14.1.20.3 Association Rules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6604
14.1.20.3.1 ZeroR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6605
14.1.20.3.2 OneR (classification by induction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6606
14.1.20.3.3 Apriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6610
14.1.20.4 Equivalence CLAss Transformation (ECLAT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616
14.1.20.5 Clustering and Classification
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6618
14.1.20.5.1 Naive Bayes classifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6622
14.1.20.5.1.1
Binomial Naive Bayes classifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6622
14.1.20.5.1.2
Gaussian Naive Bayes classifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6626
14.1.20.5.2 k-nearest neighbours classifier (k-nn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6628
xlvi
14.1.20.5.3 Regression and classification trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6631
14.1.20.5.3.1
Binary classification trees with quantitative variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6632
14.1.20.5.3.2
Detection of significant splits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6642
14.1.20.5.3.3
Classification (and clustering) validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6643
14.1.20.5.3.4
Random Forests
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6648
14.1.20.5.4 k-means clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6650
14.1.20.5.5 Support Vector Machines (SVM) classifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6662
14.1.20.5.6 Gaussian Mixture Model (GMM) clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6669
14.1.20.5.7 Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise (DBSCAN) . . . . . . . . . . . . . .
6678
14.1.20.5.8 Mean shift clustering
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6683
14.1.20.5.9 Hierarchical Ascendant Clustering (HAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6691
14.1.20.5.10Linear Discriminant Analysis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6703
14.1.20.5.10.1 Two classes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6704
14.1.20.5.10.2 Multiclass problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6711
14.1.20.6 Dimensionality Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6713
14.1.20.6.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6714
14.1.20.6.2 Linear Discriminant Analysis (LDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6714
14.1.20.6.3 MultiDimensional Scaling (MDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6715
14.1.20.6.3.1
Classical MDS (cMDS)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6716
14.1.20.6.4 Factor Analysis (Exploratory Factor Analysis (EFA)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6720
14.1.20.6.4.1
Expectation-Maximization (EM) algorithm solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6727
14.1.20.6.4.2
Principal Factor Analysis Extraction solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6730
14.1.20.6.5 T-distributed Stochastic Neighbor Embedding (T-SNE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6734
14.1.20.6.5.1
KL gradient of Stochastic Neighbour Embedding (SNE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6737
14.1.20.6.5.2
KL gradient of T -distributed Stochastic Neighbour Embedding (T -SNE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6738
14.1.20.7 Gradient Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6740
14.1.20.8 Neural networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6746
14.1.20.8.1 Neuron model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6748
14.1.20.8.2 Transfer functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6753
14.1.20.8.3 Various cost functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6756
14.1.20.8.4 Network Architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6759
14.1.20.8.5 Backpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6773
14.1.20.8.6 Recursive Neural Networks (RNN)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6781
14.1.20.8.7 Convolutional Neural Networks (CNN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6791
14.1.20.8.8 Generative Adversarial Network (GAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6806
14.1.20.8.9 Objective, cost and loss function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6815
14.1.20.9 Genetic Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6817
14.1.20.9.1 Encoding and Initial population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6821
14.1.20.9.2 Operators
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6823
14.1.20.9.2.1
Operator of selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6824
14.1.20.9.2.2
Crossover operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6825
14.1.20.9.2.3
Mutation operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6826
14.1.20.10Total Unduplicated Reach and Frequency Analysis (TURF) . . . . . . . . . . . . . . 6831
14.2 Fractals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6833
14.2.1 IFS Fractals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6836
xlvii
14.2.1.1
Fractals Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6849
14.2.2 Fractals Visualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6854
14.2.2.1
Cantor’s Fractal (Cantor Set)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6854
14.2.2.2
Triangle Sierpinski Fractal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6857
14.2.2.3
Sierpinski carpet fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6862
14.2.2.4
Fractal spirals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6866
14.2.2.5
Von Koch fractal (Koch snowflake) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6868
14.2.2.5.1
Coastline paradox
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6872
14.2.2.6
Natural fractals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6873
14.2.2.6.1
Branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6874
14.2.2.6.2
Snowflake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6876
14.2.2.6.3
Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6880
14.2.2.6.4
Fern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6882
14.2.3 Escape Time Algorithm Fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6885
14.2.3.1
Mandelbrot Set
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6887
14.2.3.2
Julia Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6892
14.2.3.3
Newton Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6896
14.3 Logical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6898
14.3.1 Strict Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6898
14.3.1.1
Boolean Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6899
14.3.1.2
Logical Functions (Boolean operators) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6906
14.3.1.3
Karnaugh maps
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910
14.3.1.4
Arithmetic Boolean (binary) operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6919
14.3.1.4.1
Prefix codes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6927
14.3.2 Fuzzy logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6930
14.3.2.1
Fuzzy set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6941
14.4 Error-Correcting Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6946
14.4.1 CheckSum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6950
14.4.1.1
Luhn algorithm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6951
14.4.2 Check Digit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6953
14.4.2.1
European Article Numbering (EAN-13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6953
14.4.2.2
Swiss Post Payment slip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6955
14.4.2.3
International Bank Account Number (IBAN)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6957
14.4.2.4
UIC wagon numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6958
14.4.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6960
14.4.4 Encoders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6961
14.4.4.1
Block code
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6965
14.4.4.2
Systematic codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6972
14.5 Automata Theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6974
14.5.1 Von Neumann machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6975
14.5.2 Turing machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6977
14.5.3 Chomsky hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6984
14.5.3.1
Formal language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6984
14.5.3.2
Syntax
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6986
14.5.3.3
Grammar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6987
xlviii
14.5.3.4
Associated automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6990
14.5.4 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6991
14.5.4.1
Words
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6991
14.5.4.2
Languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6994
14.5.4.3
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6996
14.5.4.4
Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6998
14.5.4.4.1
Prefix codes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6999
14.5.5 Linguistic algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7001
14.5.5.1
Huffman algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7001
14.5.5.2
Sardinas and Patterson algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7006
14.6 Cryptography
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7008
14.6.1 Cryptographic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7009
14.6.1.1
Kerckhoffs’ principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7013
14.6.2 Traps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7014
14.6.3 Secret-key encryption system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7015
14.6.3.1
Feistel Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7017
14.6.4 Public key encryption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7022
14.6.4.1
Diffie-Hellman protocol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024
14.6.4.2
R.S.A system
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7028
14.6.4.2.1
Euler’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7028
14.6.5 Hash functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7041
14.6.5.1
MD5 message digest condensation function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7041
14.6.5.2
SHA-1 Secure Hash Algorithm condensation function
. . . . . . . . . . . . . . . . 7045
14.6.6 Certificate based authentication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7047
14.6.7 Quantum cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7051
14.6.8 Alternative cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7054
14.7 Quantum Computing
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7055
14.7.1 Schrödinger’s Cat superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7057
14.7.2 Photon polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7059
14.7.3 Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7061
14.7.3.1
Bloch sphere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7067
14.7.3.1.1
Qubit of polarization
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7072
14.7.3.1.2
1/2 spin Qubit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7075
14.7.4 Entangled qubit system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7079
14.7.5 Quantum logic gates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7080
15 Social Sciences
7084
15.1 Population Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7089
15.1.1 Birth rate and mortality tables (biometric features) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7090
15.1.1.1
Population Renewal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7100
15.1.2 Population Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7102
15.1.2.1
Exponential disease model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7102
15.1.2.2
Deterministic Logistic Model (Verlhust)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7105
15.1.2.3
Chaotic Logistic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7109
15.1.2.3.1
Feigenbaum’s Bifurcation Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7119
xlix
15.1.2.4
Malthusian Growth Law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7124
15.1.2.5
Leslie model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7125
15.1.2.6
Epidemic models for spread of disease . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7127
15.1.2.6.1
Exponential Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7128
15.1.2.6.2
SI Model (Susceptible-Infected)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7128
15.1.2.6.3
SIS Model (Susceptible-Infected-Susceptible)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7130
15.1.2.6.4
SIR Model (Susceptible-Infected-Recovered) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7131
15.1.2.6.5
Incidence rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7140
15.1.2.7
Lotka–Volterra predator–prey model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7142
15.1.3 Schaefer’s optimal capture model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7150
15.1.4 Hardy-Weinberg model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7152
15.1.5 Mendel’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7162
15.1.6 Growth rate with temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7166
15.2 Game and Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7167
15.2.1 Behavioural decision bias (cognitive bias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7172
15.2.1.1
Sunk Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7177
15.2.1.2
Anchoring Bias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7179
15.2.1.3
Wisdom of Crowds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7180
15.2.1.4
Delphi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7183
15.2.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7185
15.2.2.1
Pareto Optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7185
15.2.2.2
Nash Equilibrium
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7186
15.2.3 Games Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7189
15.2.3.1
Extensive representation of a Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7190
15.2.3.2
Extensive representation of a Decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7191
15.2.3.2.1
Real Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7199
15.2.3.3
Normal representation of a Game
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7201
15.2.3.3.1
Repetitive Games
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7208
15.2.3.4
Set representation of a Game
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211
15.2.3.5
Graphical representation of a Game
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7215
15.2.4 Expected Utility
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7219
15.2.4.1
Hurwitz Criterion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7220
15.2.4.1.1
Pascal’s wager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7222
15.2.4.2
Laplace Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7227
15.2.4.3
Kelly criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7228
15.2.4.3.1
Discrete time Kelly criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7230
15.2.4.3.2
Continuous time Kelly criterion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7233
15.2.5 Evolutionary Games
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7235
15.2.5.1
Dove & Hawk game in pure strategy (without probabilities) . . . . . . . . . . . . . . 7239
15.2.5.2
Dove & Hawk game in stable evolutionary strategy (with probabilities) . . . . . . . . . 7240
15.2.6 Cournot Competition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7243
15.2.7 Markov Decision Processes (MDPs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7247
15.2.8 Multi-Criteria Decision Making (MCDM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7253
15.2.8.1
Analytic Hierarchy Process (AHP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7253
15.2.9 Electoral systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7263
l
15.2.10 Ethics and Moral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7269
15.2.10.1 Golden Rule of morality (Tit for Tat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7270
15.3 Economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7276
15.3.1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7277
15.3.1.1
Microeconomics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7279
15.3.1.1.1
Willingness-To-Pay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7287
15.3.1.1.2
Pricing optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7288
15.3.1.1.3
Average & Marginal Cost/Revenue
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7293
15.3.1.2
Macroeconomics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7299
15.3.1.2.1
Cobb-Douglas Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7300
15.3.2 Monetary Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7305
15.3.2.1
Monetary base conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7307
15.3.2.2
Walras’ law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310
15.3.3 Price Index and GDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7315
15.3.3.1
Paasche and Laspeyres price indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7316
15.3.3.2
Fisher index and Marshall–Edgeworth index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317
15.3.3.3
Gross domestic product (GDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318
15.3.4 Supply and Demand Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7320
15.3.4.1
Expected utility theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7320
15.3.5 Net gain/loss opposite feedback model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7328
15.3.6 Capitalization and Actuarial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7336
15.3.6.1
Dates Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7338
15.3.6.2
Rates Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7341
15.3.6.3
Simple Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7342
15.3.6.3.1
Discounts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7344
15.3.6.4
Compound Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7346
15.3.6.5
Continuous Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7349
15.3.7 Progressive interest (annuities)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7351
15.3.7.1
Postnumerando annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7352
15.3.7.2
Praenumerando annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7354
15.3.8 Rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7356
15.3.9 Loans Amortization/Repayments
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7359
15.3.9.1
Fixed-Term Loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7361
15.3.9.2
Loan with constant amortization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7362
15.3.9.3
Loan with constant annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7362
15.3.9.3.1
Equivalent Monthly Installment (EMI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7364
15.3.10 Modern Portfolio Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7370
15.3.10.1 No Arbitrage Opportunity (N.A.O.)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7374
15.3.10.2 Liquidity and Illiquidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7379
15.3.10.2.1 Bias ratio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7382
15.3.10.2.2 Bid-Ask (spread) Roll Model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7385
15.3.10.3 Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7388
15.3.10.3.1 Stocks (shares of stocks)/Equities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7396
15.3.10.3.1.1
Dividend Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7398
15.3.10.3.1.2
Shares Benchmark Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7401
li
15.3.10.3.1.3
Durand Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7401
15.3.10.3.2 Obligations (Bonds) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7406
15.3.10.3.2.1
MacCaulay Duration, Modified Duration and Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7422
15.3.10.3.2.2
Equivalence of a Bond rate for a Treasury bill
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7429
15.3.10.3.3 Warrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7432
15.3.10.3.4 Futures & Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7436
15.3.10.3.4.1
Futures & Forwards naive pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7441
15.3.10.3.4.2
Cox-Ingersoll-Ross equality of the Future/Forward price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7445
15.3.10.3.4.3
Futures & Forwards commodity hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7445
15.3.10.3.4.4
Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7452
15.3.10.3.5 Returns and Investments rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7468
15.3.10.3.5.1
Return on Investment (R.O.I.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7469
15.3.10.3.5.2
Internal Rate of Return (I.R.R.)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7470
15.3.10.3.5.3
Modified Internal Rate of Return (M.I.R.R.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7471
15.3.10.3.5.4
Money Weighted Rate of Return (M.W.R.R.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7473
15.3.10.3.5.5
Time Weighted Rate of Return (T.W.R.R.)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7476
15.3.10.3.6 Theory of Speculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7478
15.3.10.3.7 Portfolio efficient diversification models
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7487
15.3.10.3.7.1
Overall minimum variance portfolio (Markowitz portfolio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7488
15.3.10.3.7.2
Overall maximum Sharpe portfolio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7502
15.3.10.3.7.3
Equal Risk Contribution optimal weights portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7521
15.3.10.3.7.4
Error tracking optimal weights portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7522
15.3.10.3.7.5
Sharpe optimal weights portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7522
15.3.10.3.7.6
Maximum diversification optimal weights portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7523
15.3.10.3.7.7
Treynor-Black optimal weights portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7524
15.3.10.3.7.8
Risk Parity Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7527
15.3.10.3.8 Capital Asset Pricing Model (CAPM)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7529
15.3.10.3.8.1
Hedging a future and commodity portfolio with the CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7546
15.3.10.3.9 Black & Scholes option pricing models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7548
15.3.10.3.9.1
Put-Call parity equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7549
15.3.10.3.9.2
Efficient Market Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7553
15.3.10.3.9.3
Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7554
15.3.10.3.9.4
Generalized Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7559
15.3.10.3.9.5
Brownian bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7564
15.3.10.3.9.6
It¯o’s process
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7568
15.3.10.3.9.7
It¯o’s product and quotient rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7582
15.3.10.3.9.8
Black & Scholes differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7583
15.3.10.3.9.9
Self-financing portfolio on underlying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7587
15.3.10.3.9.10 Greeks and others...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7588
15.3.10.3.9.11 Solving the Black & Scholes differential equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7593
15.3.10.3.10Binomial option pricing model (CRR model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7616
15.3.10.3.11Bachelier option pricing model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7631
15.3.10.3.12Black Model (Future options pricing model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7634
15.3.10.3.13VIX volatility index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7636
15.3.10.3.14Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7647
lii
15.3.10.3.14.1 Relative Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7648
15.3.10.3.14.2 Absolute Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7653
15.3.10.3.14.3 Delta-Normal Value at Risk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7654
15.3.10.3.14.4 (Sorted) Historical Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7655
15.3.10.3.14.5 Credit Value at Risk (CVaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7656
15.3.10.3.14.6 Operational Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7658
15.3.10.3.14.7 Surplus Value at Risk (Pension VaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7660
15.3.10.3.14.8 Variance-Covariance Value at Risk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7661
15.3.10.3.14.9 Marginal and Component Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7663
15.3.10.3.14.10Conditional Value at Risk (CVaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7665
15.3.10.3.14.11Modified duration Value At Risk (MdVaR)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7667
15.3.10.3.14.12Backtesting Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7668
15.3.11 Exchange rate
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7669
15.3.12 Credit default Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7673
15.3.12.1 Credit spread risk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7674
15.3.12.2 Value At Risk equity coverage rating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7677
15.3.12.3 Altman Z-score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7678
15.3.12.4 Merton’s Distance to Default and KMV Expected Default Frequency . . . . . . . . . . 7679
15.3.13 Time Series Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7685
15.3.13.1 Type of Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7692
15.3.13.2 Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7696
15.3.13.3 Types of Forecasting Models
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7703
15.3.13.3.1 Simple Moving Average (moving average smoothing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7708
15.3.13.3.2 Linear Model With Seasonal Coefficients (LMSC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7711
15.3.13.3.3 Exponential Smoothing models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7716
15.3.13.3.3.1
Simple Exponential Smoothing (EWMA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7717
15.3.13.3.3.2
Double Exponential Smoothing with One Parameter (Brown Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7726
15.3.13.3.3.3
Holt’s Double Exponential Smoothing with 2 Parameters (Additive Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7734
15.3.13.3.3.4
Holt’s and Winter Triple Exponential Smoothing with 3 Parameters (Multiplicative Method) . . . . . . . . . . . . . . .
7740
15.3.13.3.3.5
ETS (Error, Trend, Seasonality) Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7747
15.3.13.3.4 Logistic Model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7754
15.3.13.4 Autoregressive Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7761
15.3.13.4.1 AR(p) Autoregressive processes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7772
15.3.13.4.2 MA(q) Moving Average stationary process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7775
15.3.13.4.3 ARMA(p, q) Autoregressive non-seasonal moving average processes
. . . . . . . . . . . . . . .
7777
15.3.13.4.4 ARIMA(p, d, q) Autoregressive non-seasonal integrated moving average processes
. . . . . . . . . .
7778
15.3.13.4.5 ARCH-GARCH processes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7788
15.3.13.4.5.1
ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7789
15.3.13.4.5.2
GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7793
15.3.13.5 Forecasting Stationary Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7794
15.3.13.5.1 Linear Minimal Mean Square Estimation (LMMSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7799
15.3.13.6 TBATS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7801
15.3.13.7 Recipes for modelling time series data
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7802
15.3.13.7.1 Durbin-Watson autocorrelation test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7804
15.4 Quantitative Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810
liii
15.4.1 Corporate and Government Finance Management
. . . . . . . . . . . . . . . . . 7813
15.4.1.1
Basic Accounting Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7815
15.4.1.2
Ratio Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7816
15.4.1.2.1
Short term solvency or liquidity measure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7818
15.4.1.2.2
Long term solvency or Liquidity measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7819
15.4.1.2.3
Profitability Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7820
15.4.1.2.4
Growth Rate
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7821
15.4.1.2.5
Asset management or turnovers measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7822
15.4.1.2.6
Market Value Measures
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7822
15.4.1.2.7
Data Envelopment Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7823
15.4.1.3
Weighted Average Cost of Capital (WACC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7833
15.4.1.4
Break-even Point Analysis (BEPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7836
15.4.1.5
Investment Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7838
15.4.1.5.1
Net Present Value
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7839
15.4.1.5.2
Internal Rate of Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7846
15.4.1.5.3
Payback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7848
15.4.1.6
Company Valuation Methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7849
15.4.1.6.1
Balance sheets-based method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7851
15.4.1.6.1.1
Book Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7851
15.4.1.6.1.2
Adjusted Book Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7852
15.4.1.6.1.3
Liquidation Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7853
15.4.1.6.1.4
Substantial Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7853
15.4.1.6.1.5
Book Value and Market Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7854
15.4.1.6.2
Income Statemented-Based Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7854
15.4.1.6.2.1
Value of Earnings with PER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7855
15.4.1.6.2.2
Value of Dividends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7856
15.4.1.6.2.3
Sales Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7858
15.4.1.6.3
Goodwill-Based Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7858
15.4.1.7
Capital Goods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7859
15.4.1.7.1
Linear Amortization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7859
15.4.1.7.2
Arithmetic Declining Amortization
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7860
15.4.1.7.3
Geometric Declining Amortization (declining balance)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7861
15.4.2 Project Management
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7863
15.4.2.1
Probabilistic PERT (Beta-PERT Distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7863
15.4.2.2
Project planning variance reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7872
15.4.2.3
Process Reliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7875
15.4.2.4
Divide and rule? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7877
15.4.3 Lean Management (Six Sigma Process) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7881
15.4.3.1
Pareto Analysis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7884
15.4.3.1.1
Gini Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7888
15.4.3.2
Weighted Ishikawa Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7891
15.4.4 Supply Chain Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7895
15.4.4.1
Supply Chain Management in uncertain future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7897
15.4.4.1.1
Safety Stock formula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7899
15.4.4.2
Optimal initial stock management with zero rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 7901
liv
15.4.4.3
Wilson’s Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7908
15.4.4.3.1
Wilson’s model with resupply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7913
15.4.4.3.2
Wilson’s model without resupply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7922
15.4.4.3.3
Wilson’s model with resupply and break-up
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7925
15.4.5 Queueing Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7930
15.4.5.1
M/M/ . . . arrival times modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7934
15.4.5.2
M/M/ . . . service times modelisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7939
15.4.5.3
Kendall queues notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7941
15.4.5.4
Modelling of arrivals and departures M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7943
15.4.5.5
Probability of standby in a M/M/k/k queue (Erlang-B formula)
. . . . . . . . . . . 7950
15.4.5.6
Probability M/M/K/ + ∞of standby (Erlang-C formula) . . . . . . . . . . . . . . 7953
15.4.6 Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7958
15.4.6.1
Premium pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7960
15.4.6.2
Taking account of the return on experience
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7963
15.4.6.3
Discounting factor of a retirement insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7965
15.4.6.4
Pension insurance (life annuities)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7968
15.4.6.4.1
Temporary life annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7969
15.4.6.4.2
Deferred life annuity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7971
15.4.7 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7972
15.4.7.1
Direct Bias Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7974
15.4.7.2
Correlation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7978
15.5 Music Mathematics (physics of hearing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7983
15.5.1 Longitudinal Sound Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7983
15.5.1.1
Power carried by a sound wave
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7991
15.5.1.2
Measuring the intensity of a sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7995
15.5.2 Spherical Sound Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7998
15.5.3 Doppler effect
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8000
15.5.3.1
Fixed source-Moving observer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8002
15.5.3.2
Moving source-Fixed observer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8003
15.5.3.3
Moving source and observer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8005
15.5.4 Shock waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8006
15.5.5 Music Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8008
15.5.6 Harmonic Oscillator
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8012
15.5.6.1
Damping and Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8015
16 Engineering
8022
16.1 Marine & Weather Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8027
16.1.1 Visual horizon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8032
16.1.1.1
Discerning the curvature of the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8045
16.1.2 Wind direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8049
16.1.3 Atmospheric Profile Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8052
16.1.3.1
Atmospheric Exponential Profile Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8052
16.1.3.2
Adiabatic Atmosphere Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8056
16.1.3.2.1
Hypsometric equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8059
16.1.4 Earth’s equilibrium temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8060
lv
16.1.4.1
Greenhouse effect
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8063
16.1.4.2
Milankovitch cycles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8064
16.1.5 Temperature variation range models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8066
16.1.5.1
Diurnal temperature range (DTR)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8066
16.1.5.2
Seasonal temperature range (STR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8069
16.1.6 Weather (sounding) balloon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8075
16.1.7 Cyclogenesis and Anticyclogenesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8078
16.1.8 Tides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8088
16.1.8.1
Astronomical tides (influence Moon/Sun) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8090
16.1.8.1.1
First approach (naive center of mass model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8091
16.1.8.1.2
Second approach (vector field model)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8094
16.1.8.1.2.1
Tides hight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8102
16.1.9 Lorenz equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8104
16.1.9.1
Rayleigh-Bénard convection cells (Benard-Marangoni instability) . . . . . . . . . . . 8114
16.1.9.2
Lorenz attractor and chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8123
16.1.10 Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8130
16.1.10.1 Depth of a wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8142
16.1.10.2 Wave’s amplitude
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8143
16.2 Mechanical Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8145
16.2.1 Mechanical Efficiency
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8146
16.2.2 Gears . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8148
16.2.2.1
Transmission ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8151
16.2.2.2
Gears association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8154
16.2.2.2.1
Odd/Even Gear "problem"
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8159
16.2.2.3
Types of Gears . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8160
16.2.3 Strength of materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8168
16.2.3.1
Quadratic moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8171
16.2.3.2
Equation of the elastic line
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8174
16.2.3.2.1
Euler-Bernoulli Beam equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8180
16.2.3.2.2
Potential elastic energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8189
16.2.3.3
Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8190
16.2.3.4
Buckling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8194
16.2.3.4.1
Self-buckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8201
16.2.3.5
Traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211
16.2.3.6
Pressure Vessels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212
16.2.3.6.1
Thin cylinders subjected to internal pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8213
16.2.3.6.1.1
Hope stress σθ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8214
16.2.3.6.1.2
Longitudinal stress σL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8215
16.2.3.6.2
Thin sphere subjected to internal pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8217
16.2.3.7
Centrifugal expansion of a rotating ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8220
16.3 Electrical Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8223
16.3.1 Elementary primitive electrical symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8226
16.3.2 Alternative current VS Direct current
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8228
16.3.2.1
DC generator (dynamo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8231
16.3.2.2
Average power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8235
lvi
16.3.3 Transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8239
16.3.3.1
Transformer universal EMF equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8245
16.3.4 Steady State Linear Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8247
16.3.4.1
RC series circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8251
16.3.4.1.1
RC series step response
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8251
16.3.4.1.2
RC series linear response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8255
16.3.4.2
RL series circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8256
16.3.4.3
Source-Free serial RLC circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8259
16.3.4.3.1
Critically damped response (R4 = 4L/C)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8261
16.3.4.3.2
Overdamped (hypercritic) response (R2 > 4L/C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8262
16.3.4.3.3
Underdamped (decaying oscillation) response (R2 < 4L/C) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8264
16.3.4.4
Telegrapher’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8270
16.3.4.4.1
Thomson’s law of squares of transmission lines (latency metallic cables) . . . . . . . . . . . . . .
8274
16.3.5 Linear Circuit (RLC) in Forced Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8281
16.3.5.1
Low-pass filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8285
16.3.5.2
High-pass filter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8286
16.3.5.3
Integrator and differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8288
16.3.6 Signal Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8290
16.3.6.1
Nyquist-Shannon Theorem (Nyquist sampling theorem)
. . . . . . . . . . . . . . . 8290
16.3.7 Semiconductor devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8303
16.3.7.1
Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8303
16.3.7.1.1
Ideal Diode Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8306
16.3.7.1.1.1
Carrier concentrations in pure semiconductors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8306
16.3.7.1.1.2
Carrier concentrations in doped crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8308
16.3.7.1.1.3
pn-junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8310
16.3.7.1.1.4
Forward-biased pn-junction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8313
16.3.7.2
Amplifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8320
16.4 Civil Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323
16.4.1 Static . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8325
16.4.2 Pulleys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8326
16.4.2.1
Windlass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8335
16.4.3 Cornu spiral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8337
16.4.4 Overhead cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8342
16.4.4.1
Free overhead cable (catenary) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8343
16.4.4.2
Charges overhead cable (suspended bridge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8351
16.4.4.3
Very tense cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8355
16.4.5 Falling chimney (naive approach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8357
16.4.6 Dams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8363
16.4.6.1
Power extracted from a Dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8366
16.4.7 Tuned Mass Damper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8371
16.5 Aerospace Engineering
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8374
16.5.1 Airfoil Lift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8375
16.5.1.1
Newton’s lift argument (skipping stone argument) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8377
16.5.1.2
Bernoulli’s lift argument (equal time argument) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8378
16.5.1.3
Euler’s lift argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8380
lvii
16.5.1.4
Coand˘a lift argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8384
16.5.1.5
Kutta-Joukowski lift argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8385
16.5.2 Cosmic speeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8387
16.5.3 Fundamental Equation of Propulsion (Tsiolkovsky rocket equation) . . . . . . . . . 8390
16.5.4 Geostationary orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8399
16.5.5 Vis-Viva equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8403
16.5.6 Gravity assist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8406
16.5.6.1
Speed variation (in solar reference frame) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8407
16.5.6.2
Approaching speed from infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410
16.5.6.3
Velocity variation and impact factor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8411
16.5.7 Hohmann Transfer orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8417
16.6 Software Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8421
16.6.1 Algorithm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8421
16.6.2 Dichotomic Search algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423
16.6.2.1
Bisection algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423
16.6.2.2
Binary search algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8426
16.6.3 Tower of Hanoi algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8428
16.6.4 Sorting algorithms
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8434
16.6.4.1
Bubble sort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8434
16.6.4.2
QuickSort algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8436
16.6.5 Dijkstra’s algorithm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8438
16.6.6 Google PageRank algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8446
16.6.6.1
Weighted Count . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8448
16.6.6.2
Recursive counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8449
16.6.6.3
Absorbing states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8453
16.7 Industrial Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8456
16.7.1 Six Sigma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8457
16.7.1.1
Quality Control
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8460
16.7.1.2
Defaults/Errors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8461
16.7.1.3
Capability Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8466
16.7.1.4
Quality Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8480
16.7.2 Taguchi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8493
16.7.3 Preventive Maintenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8499
16.7.3.1
Planned Obsolescence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8500
16.7.3.2
Reliability Empirical Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8503
16.7.3.2.1
Average Failure Rate
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8517
16.7.3.3
Weibull Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519
16.7.3.3.1
Two-parameter Weibull distribution linearisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8524
16.7.3.4
Topology of Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8526
16.7.3.4.1
Fault Tree Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8538
16.7.3.4.2
Markov Chain Reliability Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8540
16.7.3.5
Maximum Likelihood for failure rate determination of samples
. . . . . . . . . . . . 8544
16.7.3.6
Kaplan-Meier Survival Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8546
16.7.3.7
ABC Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8555
16.7.3.8
XY Z Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8560
lviii
16.7.4 Design of Experiments (DoE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8562
16.7.4.1
Two levels factorial Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8576
16.7.4.1.1
Replicated Full Factorial Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8582
16.7.4.1.2
Plackett-Burman Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8589
16.7.4.1.3
Fractional Factorial Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8595
16.7.4.2
General factorial Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8605
16.7.4.3
Taguchi Designs and Nomenclature (robust designs) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8619
16.7.4.3.1
Signal Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8628
16.7.4.4
Response Surface Methodology (Box Domains) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8630
16.7.4.4.1
Pure quadratic curvature test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8632
16.7.4.4.2
Box-Wilson Central Composite Designs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8634
16.7.4.4.2.1
Circumscribed Center Designs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8637
16.7.4.4.2.2
Face Centered Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8642
16.7.4.5
Optimal Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8646
16.7.4.6
Mixture Design
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8655
16.7.4.6.1
Network mixture designs (simplex lattice designs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8659
16.7.4.6.2
Full Factorial Combined with Mixture Design-Crossed Design . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8674
16.7.4.7
General DoE diagnostic tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8677
16.7.4.7.1
Lenth’s PSE Pareto Margin Error for unreplicated factorial designs . . . . . . . . . . . . . . . .
8677
16.7.4.7.2
Pareto Margin Error for replicated factorial designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8680
16.7.4.7.3
Desirability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8681
16.7.5 Quality Control on Reception (Lot Acceptance Sampling Plans)
. . . . . . . . . . 8685
16.7.5.1
Simple acceptance sampling plan by measurement for a unique tolerance with known stan-
dard deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8689
16.7.5.1.1
Calculation of the parameters using the norm AF-X06-023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8696
16.7.5.2
Simple acceptance sampling plan by attribute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8699
16.7.5.2.1
Calculation of the parameters using the norm ISO 2859-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8705
16.7.5.3
Double acceptance sampling plan by attribute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8707
16.7.5.4
Operating characteristic curve (OC)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8708
16.7.5.5
Average outgoing quality (AOQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711
16.7.6 Quality Control Charts (CC)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8715
16.7.6.1
WECO’s empirical rules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8719
16.7.6.2
Sample size and Sampling frequency for Control Charts
. . . . . . . . . . . . . . . 8721
16.7.6.3
Attributes Control Charts (qualitative CC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8725
16.7.6.3.1
P Control Charts (binomial proportion CC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8726
16.7.6.3.2
NP Control Charts (binomial counting CC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8730
16.7.6.3.3
C Control Charts (Poisson counting CC)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8733
16.7.6.3.4
U Control Charts (normalized Poisson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8737
16.7.6.3.5
Laney’s p′ and u′ control charts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8741
16.7.6.4
Measurement Control Charts (quantitative CC)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8743
16.7.6.4.1
Individual measurement control chart with required limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8744
16.7.6.4.2
Individual measurement control chart with moving limits
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8746
16.7.6.4.3
Subgroups measurement control chart with standard error
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8752
16.7.6.4.4
S −S Subgroups measurement control chart for standard deviation . . . . . . . . . . . . . . . .
8757
16.7.6.4.5
X −S Subgroups measurement control chart
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8766
lix
16.7.6.4.6
X −SP Subgroups measurement control chart with pooled variance . . . . . . . . . . . . . . .
8771
16.7.6.4.7
R −R Subgroups measurement control chart
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8776
16.7.6.4.8
X −R Subgroups measurement control chart
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8781
16.7.6.5
Autocorrelated Measurement Control Charts (time weighted control charts) . . . . . . . 8787
16.7.6.5.1
I −MR/X Individual moving range measurement control chart . . . . . . . . . . . . . . . . .
8787
16.7.6.5.2
I −MR/MR Individual moving range measurement control chart
. . . . . . . . . . . . . . . .
8791
16.7.6.5.3
Individual Moving Average control chart
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8794
16.7.6.5.4
CUSUM (cumulated sum) control chart with empirical V-mask
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8799
16.7.6.5.5
EWMA control charts (exponential weighted moving average) with fixed limits . . . . . . . . . . . .
8806
16.7.6.6
Rare events control charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8814
16.7.6.6.1
Frequency T control chart with probabilistic limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8815
16.7.6.6.2
Frequency G control chart of rare events
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8820
16.7.6.7
Control Charts Operating Characteristic (OC) Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825
16.7.6.7.1
OC for ¯
X measurement control charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8825
16.7.6.7.2
OC for P-type attribute control charts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8827
16.7.7 Design of reliability tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8829
16.7.7.1
Chi-squared time of test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8830
16.7.7.2
Binomial sampling size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8833
16.7.7.3
Test to demonstrate MTBF (or MTTF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8837
16.7.7.4
Beta-binomial sampling size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8839
17 Epilogue
8842
18 Biographies
8844
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8847
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8855
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8864
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8868
F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8871
G
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8876
H
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8881
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8889
J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8889
K
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8892
L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8895
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8904
N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912
O
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8923
S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8924
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8932
V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8935
W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8936
Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8940
lx
Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8942
19 Chronology
8946
20 Humor
8990
20.1 Situations
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20.2 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9006
20.3 Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9028
20.4 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9052
20.5 Chemistry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9059
20.6 Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9066
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20.8 Social Sciences
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21 Links
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22 Quotes
9109
23 Changelog
9126
24 Nomenclature
9151
List of Figures
9158
List of Tables
9210
List of Algorithms
9220
Bibliography
9223
Index
9257
25 Donate