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Bouvier. Théorie des Ensembles. 3e. 1982.

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INTRODUCTION

CHAPITRE PREMIER — ALGÈBRE DES ENSEMBLES

I. — Ensembles. Sous-ensembles
1. La notion intuitive d’ensemble
2. Égalité de deux ensembles
3. Ensembles particuliers
4. Diagrammes de Venn-Euler
5. Sous-ensembles
6. Propriétés de l’inclusion
7. Diagrammes linéaires

II. — Intersection. Réunion
1. Intersection de deux ensembles
2. Réunion de deux ensembles
3. Liens entre ces deux notions

III. — Complémentaire. Différence
1. Complémentaire d’un sous-ensemble
2. Formules de De Morgan
3. Diagrammes de Carroll
4. Différence de deux ensembles

IV. — Ensemble des parties d’un ensemble
1. Présentation
2. Structures sur \(\mathcal P(E)\)

CHAPITRE II — RELATIONS

I. — Produit cartésien de deux ensembles
1. Notion de couple
2. Produit cartésien

II. — Relations d’un ensemble vers un autre
1. Définitions
2. Composition des relations
3. Relations réciproques
4. Image d’un ensemble par une relation

III. — Relation binaire dans un ensemble
1. Généralités
2. Relations réflexives
3. Relations symétriques
4. Relations antisymétriques
5. Relations transitives
6. Algèbre des relations

CHAPITRE III — RELATIONS D’ORDRE. RELATIONS D’ÉQUIVALENCE

I. — Relations d’ordre
1. Définitions
2. Diagramme de Hasse d’une relation d’ordre
3. Ordre partiel, ordre total
4. Exemples d’ensembles ordonnés
5. Éléments remarquables d’un ensemble ordonné
Dans le § 5 :
A) Majorants
B) Plus grands éléments
C) Borne supérieure
D) Éléments maximaux
Les notions duales sont également traitées : minorants, plus petit élément, borne inférieure, éléments minimaux.

II. — Relations d’équivalence
1. Définitions
2. Classes d’équivalence
3. Ensemble quotient
4. Exemples de relations d’équivalence
5. Relations de préordre

CHAPITRE IV — FONCTIONS

I. — Généralités
1. Définitions
2. Égalité de deux fonctions
3. Composée de deux fonctions

II. — Exemples de fonctions
1. Loi de composition interne
2. Familles. Suites
3. Fonctions caractéristiques
4. Ensembles flous

III. — Fonctions particulières
1. Surjections
2. Injections
3. Bijections
4. Partition d’un ensemble

CHAPITRE V — CARDINAUX

I. — Définition
1. Équipotence
2. Comparaison des cardinaux
3. Arithmétique des cardinaux

II. — Cardinaux finis. Cardinaux infinis
1. Cardinaux finis
2. Cardinaux infinis
3. Ensembles infinis dénombrables
4. La puissance du continu
5. Au-delà de la puissance du continu

III. — Ordinaux

CHAPITRE VI — DE LA THÉORIE NAÏVE AUX THÉORIES FORMELLES

I. — Les origines de la théorie des ensembles
1. Des problèmes d’analyse
2. Dedekind — Cantor — Euclide (315 ?-255 ?)
3. Les paradoxes

II. — L’axiome du choix
1. Présentation
2. Utilisation pratique
3. Théorème de Zermelo. Théorème de Zorn

III. — Axiomatique de la théorie des ensembles
1. Les différentes écoles
2. Kurt Gödel
3. Les théories des ensembles
4. La métamathématique
5. L’axiomatique de Zermelo-Fraenkel
Dans le § 5 :
A) Axiome d’extensionnalité
B) Axiome de l’ensemble vide
C) Axiome des paires
D) Axiome de la réunion
E) Axiome de l’infini
F) Axiome des parties d’un ensemble
G) Axiome de régularité
H) Axiome du choix
I) Axiome de remplacement

FIN DU VOLUME
Bibliographie sommaire
Index
Mathématiciens cités
Index des notations